КАТЕГОРІЇ:

Автомобілі Біологія Будівництво Відпочинок і туризм Географія Дім і сад Екологія Економіка Електроніка Іноземні мови Інформатика Інше Історія Культура Література Математика Медицина Металлургія Механіка Освіта Охорона праці Педагогіка Політика Право Психологія Релігія Соціологія Спорт Фізика Філософія Фінанси Хімія

Системи рівнянь та нерівностей

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 3137

При розв’язуванні систем рівнянь (нерівностей) використовують традиційні прийоми. Часто це може бути метод послідовного виключення змінних, застосування підстановок, які спрощують систему. У залежності від постановки задачі іноді можна використовувати графічний метод, досліджувати необхідні та достатні умови існування розв’язків. Проте, на відміну від аналогічних систем без параметрів, можуть виникати ситуації, які вимагають додаткового дослідження. Наведемо приклад, коли відсутність додаткового дослідження може привести до втрати розв’язку.

Приклад 1. Знайти всі значення параметра , при яких система

має єдиний розв’язок.

Розв’язання. Оскільки значення не може бути розв’язком системи, то очевидна підстановка дозволяє записати перше рівняння у виді . У випадку, коли і дане рівняння лінійне, система має єдиний розв’язок. Якщо , то рівняння квадратне і має єдиний розв’язок, коли його дискримінант дорівнює 0. Знаходимо , звідки .

Хочеться зробити висновок, що відповідь утворюють три знайдені значення параметра. Проте це не так. Додатково дослідимо, чи може один із коренів одержаного квадратного рівняння дорівнювати 0. Знаходимо і при дістаємо корінь , при якому система не має другого розв’язку.

Відповідь. , та .

Наведемо деякі приклади систем рівнянь та нерівностей з параметрами з різними постановками задач та прийомами розв’язання.

Приклад 2. Знайти всі значення параметра , при яких система рівнянь

має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Запишемо систему у виді

та використаємо геометричну інтерпретацію рівнянь системи. Перше з них задає коло з центром у точці , радіус якого 1, а друге – теж коло з центром у точці та з радіусом . Два кола мають єдину спільну точку у випадку, коли вони дотикаються. Якщо дотик зовнішній, то відстань між центрами дорівнює сумі радіусів. Оскільки , то дістаємо рівняння , звідки . У випадку внутрішнього дотику відстань між центрами дорівнює різниці радіусів, а відповідне рівняння матиме вид , звідки .

Відповідь. та .

Приклад 3. При яких значеннях параметра система рівнянь

має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Виключаючи із системи рівнянь змінну , отримуємо квадратне рівняння

Оскільки , то будемо вимагати, щоб одержане рівняння мало єдиний корінь, який задовольняє умову .Для цього необхідно, щоб або дискримінант рівняння дорівнював 0, або для функції

виконувалася умова (див. розділ 1). Дискримінант рівний 0 при . При цьому значенні квадратне рівняння має корінь , який задовольняє умову . Тепер обчислюємо , звідки . Якщо , то або . При отримуємо рівняння , обидва корені якого задовольняють умову . При дістаємо рівняння і умову задовольняє тільки корінь .

Відповідь. та .

Приклад 4 При яких значеннях параметра система нерівностей

має розв’язки?

Розв’язання. Запишемо нерівності системи у виді та і побудуємо графіки відповідних парабол (рис. 1). Із декількох різних варіантів взаємного розташування парабол (на рисунку зображено два із них), які визначаються взаємним розміщенням точок , умову задачі задовольнятимуть тільки ті, коли .

Відповідь. .

Приклад 5. При яких значеннях параметра система

має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Визначаючи з другого рівняння та підставляючи одержаний вираз у перше рівняння, отримуємо рівносильну систему

Друге рівняння запишемо у виді або (якщо , то система несумісна). Одержане співвідношення задає гіперболу з вертикальною асимптотою та горизонтальною асимптотою . Пряма, визначена першим рівнянням системи, може мати з гіперболою єдину спільну точку у випадках, коли вона проходить горизонтально або вертикально і не співпадає з асимптотами, а також у випадку, коли вона дотикається до гіперболи. Із рівняння

отримуємо, що перший випадок буде виконуватися при та . У другому випадку, підставивши у перше рівняння та перетворивши його до виду

будемо вимагати, щоб дискримінант одержаного квадратного (при ) рівняння був рівний 0. Дістаємо , звідки .

Відповідь. , та .

Приклад 6. При яких значеннях параметра множина розв’язків системи

містить відрізок осі ?

Значення повинні задовольняти кожну із нерівностей системи. Для параболи заданий відрізок повинен міститися між її коренями, тобто повинні одночасно виконуватися умови , звідки дістаємо .

Друга нерівність системи визначає півплощину, розташовану нижче від прямої . Те, що заданий відрізок розташований саме у цій півплощині, дозволяє отримати умови , звідки . Знайдені для параболи та прямої умови дозволяють отримати відповідь на поставлену задачу.

Відповідь. .

Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Додаючи та віднімаючи рівняння, отримуємо рівносильну систему

Одержані рівняння можна розв’язати при умові, що параметр задовольняє систему нерівностей

або рівносильну їй систему

Розв’язуючи її, дістаємо , , або .

При система набуває виду , звідки

, , .

При дістаємо систему , звідки

, , .

Якщо , то отримуємо систему , або , звідки , .

Відповідь. При ; при ; при , . При інших розв’язків нема.

Приклад 8. Розв’язати систему рівнянь

Розв’язання. Звернемо увагу на те, що друге рівняння системи виконується тільки при умові

Тоді з першого рівняння отримуємо співвідношення , якому повинен задовольняти параметр .

Відповідь. при та . При інших розв’язків нема.

Приклад 9. При яких значеннях параметра система

має три розв’язки? Знайти ці розв’язки.

Розв’язання. Заміна на не змінює систему. Тому разом із розв’язком вона матиме також розв’язок . Непарна кількість розв’язків можлива тільки у випадку, коли третій розв’язок матиме вид . При отримуємо систему , з якої знаходимо , . При задана система запишеться у виді

Розглядаючи випадок та підставляючи значення у друге рівняння, отримуємо рівняння з коренями та , звідки , . Міркуючи аналогічно, встановлюємо, що при система матиме тільки один розв’язок .

Відповідь. При . Розв’язки , .

Для розв’язання даної задачі рекомендуємо застосувати також графічний метод.

Приклад 10. При яких значеннях параметра система

має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Із першого рівняння системи дістаємо . Друга нерівність рівносильна сукупності двох систем

та .

Легко переконатися, що друга система розв’язків не має. Розв’язки першої системи утворюють на площині область, розташовану між параболами та (рис. 2). Нас цікавить існування у цій області відрізків прямих виду , які містять єдину точку, для якої координата приймає ціле значення. Очевидно, що відрізок прямої не має жодної такої точки. Тому встановимо, при яких значеннях параметра прямі «зустрінуться вперше» із параболами у точках із цілочисельними значеннями . Для верхньої параболи таким значенням є . З рівняння дістаємо . Для нижньої параболи при із рівняння знаходимо .