![]() Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
Системи рівнянь та нерівностейДата добавления: 2014-11-10; просмотров: 3143
При розв’язуванні систем рівнянь (нерівностей) використовують традиційні прийоми. Часто це може бути метод послідовного виключення змінних, застосування підстановок, які спрощують систему. У залежності від постановки задачі іноді можна використовувати графічний метод, досліджувати необхідні та достатні умови існування розв’язків. Проте, на відміну від аналогічних систем без параметрів, можуть виникати ситуації, які вимагають додаткового дослідження. Наведемо приклад, коли відсутність додаткового дослідження може привести до втрати розв’язку. Приклад 1. Знайти всі значення параметра має єдиний розв’язок. Розв’язання. Оскільки значення Хочеться зробити висновок, що відповідь утворюють три знайдені значення параметра. Проте це не так. Додатково дослідимо, чи може один із коренів одержаного квадратного рівняння дорівнювати 0. Знаходимо Відповідь. Наведемо деякі приклади систем рівнянь та нерівностей з параметрами з різними постановками задач та прийомами розв’язання. Приклад 2. Знайти всі значення параметра має єдиний розв’язок? Розв’язання. Запишемо систему у виді та використаємо геометричну інтерпретацію рівнянь системи. Перше з них задає коло з центром у точці Відповідь. Приклад 3. При яких значеннях параметра має єдиний розв’язок? Розв’язання. Виключаючи із системи рівнянь змінну
Оскільки виконувалася умова Відповідь. Приклад 4 При яких значеннях параметра має розв’язки? Розв’язання. Запишемо нерівності системи у виді Відповідь. Приклад 5. При яких значеннях параметра має єдиний розв’язок? Розв’язання. Визначаючи з другого рівняння Друге рівняння запишемо у виді отримуємо, що перший випадок буде виконуватися при
будемо вимагати, щоб дискримінант одержаного квадратного (при Відповідь. Приклад 6. При яких значеннях параметра містить відрізок Значення Друга нерівність системи визначає півплощину, розташовану нижче від прямої Відповідь. Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь Розв’язання. Додаючи та віднімаючи рівняння, отримуємо рівносильну систему
Одержані рівняння можна розв’язати при умові, що параметр
або рівносильну їй систему
Розв’язуючи її, дістаємо При
При
Якщо Відповідь. При Приклад 8. Розв’язати систему рівнянь Розв’язання. Звернемо увагу на те, що друге рівняння системи виконується тільки при умові
Тоді з першого рівняння отримуємо співвідношення Відповідь. Приклад 9. При яких значеннях параметра має три розв’язки? Знайти ці розв’язки. Розв’язання. Заміна Розглядаючи випадок Відповідь. При Для розв’язання даної задачі рекомендуємо застосувати також графічний метод.
має єдиний розв’язок? Розв’язання. Із першого рівняння системи дістаємо Легко переконатися, що друга система розв’язків не має. Розв’язки першої системи утворюють на площині Відповідь.
Завдання для самостійного розв’язання. 1. При яких значеннях параметра має додатні розв’язки? 2. При яких значеннях параметра має більше, ніж один розв’язок? 3. При яких значеннях має розв’язки? 4. При яких значеннях має розв’язки? 5. Знайти найменше значення параметра має розв’язки? 6. Знайти найбільше значення параметра має єдиний розв’язок. 7. Знайти найбільше ціле значення параметра має єдиний розв’язок. 8. Знайти найменше значення параметра має єдиний розв’язок. 9. При якому максимальному значенні параметра має розв’язок? 10. При якому максимальному значенні параметра не має розв’язків? 11. При яких значеннях параметра має рівно два розв’язки? 12. При яких значеннях параметра має розв’язки? 13. При яких значеннях параметра не має розв’язків? 14. Знайти всі значення параметра утворюють відрізок, довжина якого менша 1. 15. Знайти всі значення параметра має єдиний розв’язок. 16. При яких значеннях параметра має розв’язки? Знайти ці розв’язки. 17. Розв’язати систему рівнянь 18. При яких цілих значеннях параметра має розв’язки, для яких 19. При яких значеннях параметра 20. При яких значеннях параметра 21. Скільки розв’язків має система рівнянь у залежності від параметра а? 22. При яких значеннях параметра має єдиний розв’язок? 23. Розв’язати систему рівнянь 24. При яких значеннях параметра має чотири різні розв’язки? 25. При яких значеннях параметра має єдиний розв’язок?
|