Охарактеризуйте політичні конфлікти та шляхи їх розв’язання

Дата добавления: 2015-10-18; просмотров: 796

9. Розгорткою поверхні називається плоска фігура, що утворюється при суміщенні поверхні з площиною. Поверхні, які не можуть бути суміщені з площиною, відносяться до нерозгортних поверхонь.

До групи розгортних поверхонь відносяться тільки лінійчаті поверхні і, зокрема ті з них, які мають пересічні суміжні твірні. Точка перетину може бути як власною (поверхні з ребром звороту і конічні), так і невласною (циліндричні поверхні).

Деякі геометричні властивості елементів поверхонь не змінюються при розгортці. Оскільки розгортка поверхні являє собою плоску фігуру, утворену з поверхні без розривів і склеювання, то кожній точці (фігурі) на поверхні відповідає точка (фігура) на розгортці і навпаки. Звідси випливають основні властивості розгортки поверхонь:

1. Довжини двох відповідних ліній поверхні та її розгортки рівні між собою, наслідком чого є те, що замкнена лінія на поверхні і відповідна їй лінія на розгортці обмежують однакову площу.

2. Кут між лініями на поверхні дорівнює куту між відповідними їм лініями на розгортці.

3. Прямій на поверхні відповідає також пряма на розгортці (зворотне твердження не має змісту).

4. Паралельним прямим на поверхні відповідають також паралельні прямі на розгортці.

В залежності від виду поверхонь їхні розгортки можуть бути: точними, наближеними і умовними.

Точна розгортка може бути побудована лише для многогранників та відсіків розгортних поверхонь (циліндра, конуса, торса) – поверхню многогранника завжди можна сумістити з площиною, тому що вона складається з плоских відсіків.

Побудова точної розгортки похилого конуса або циліндра пов’язана з обчисленням довжини кривої лінії, що само по собі ставить не просту задачу. Тому розгортку будують наближено, замінюючи поверхню конуса многогранною пірамідою, а поверхню циліндра поверхнею многогранної призми.

При побудові розгортки нерозгортних поверхонь (сфера, тор) їх апроксимують відсіками розгортних поверхонь і будують розгортки цих відсіків. Сукупність розгорток відсіків розгортних поверхонь, якими замінюється нерозгортна поверхня, називається умовною наближеною розгорткою нерозгортної поверхні.

Побудова розгорток має велике практичне значення, тому що дозволяє виготовляти різноманітні вироби з плоского (листового) матеріалу шляхом його згинання.

10. Розгорткою многогранної поверхні є плоска фігура, яка складається з граней цієї поверхні, суміщених з одною площиною.

Для того, щоб при побудові розгортки многогранника його грані зобразились неспотворено, вони суміщаються з площиною, паралельною площині проекцій.

Існує три способи побудови розгортки многогранних поверхонь:

1) спосіб трикутників (тріангуляції);

2) спосіб нормального перерізу;

3) спосіб розкочування.

Розглянемо на прикладах кожен з наведених способів.

Приклад 1.Побудувати розгортку бічної поверхні піраміди SАВС (рис. 7.16).

Рис. 7.16. Розгортка поверхні методом тріангуляції

Розгортка бічної поверхні піраміди являє собою плоску фігуру, яка складається з трикутників – граней піраміди, і проводиться за наступною схемою:

1) визначається натуральна величина ребер і сторін основи піраміди;

2) в площині креслення послідовно способом засічок будуються натуральні величини трикутників (граней).

На рис. 7.16 довжина ребра піраміди SА визначена способом прямокутного трикутника, ребра SВ – обертанням навколо проецюючої прямої ί É S, ребро SС паралельне фронтальній площині проекцій, а тому проецюється на П₂ в натуральну величину. Після того, як визначені довжини ребер ½S¢¢₂А₂½,½S¢₂В₂½,½S₂С₂½ переходимо до побудови розгортки. Для цього на вільному полі креслення будуємо трикутник основи А₀В₀С₀, яка на П₁спроеціювалася в натуральну величину. З точки А₀проводимо дуги радіусом АS , з точки В₀– дуги радіусом ВS, з точки С₀– дуги радіусом СS. Точки перетину дуг визначать положення точок S₀і, відповідно, ребер А₀S₀, В₀S₀, С₀S₀на розгортці.

Приклад 2.Побудувати розгортку похилої тригранної призми АВСDEF (рис. 7.17).

Рис. 7.16. Розгортка поверхні способом нормального перерізу

1) Перерізаємо призму площиною S, яка перпендикулярна до бічних ребер. Будуємо переріз заданої призми цією площиною (D123).

2) Визначаємо довжини сторін D123 (відрізків ламаної лінії, яка отримана при перерізі поверхні призми цією площиною) обертанням навколо фронтально-проецюючої прямої ί É 3.

3) Ламану розгортаємо в пряму. Для цього на вільному полі креслення проведемо довільну горизонтальну пряму а. Від довільної точки 1₀, взятої на цій прямій, відкладаємо відрізки ½1₀2₀½,½2₀3₀½,½3₀1₀½, довжини яких дорівнюють довжинам сторін трикутника D123. Через точки 1₀ , 2₀ , 3₀ , 1₀проведемо прямі, перпендикулярні до прямої а, і відкладемо на них від точок 1₀ , 2₀ , 3₀ , 1₀відрізки, довжини яких дорівнюють відповідним довжинам бічних ребер (½1A½,½1D½,½2B½,½2E½, …….). Отримані точки А₀В₀С₀та D₀E₀F₀з'єднуємо прямими. Плоска фігура А₀В₀С₀А₀D₀E₀F₀D₀являє собою розгортку бічної поверхні призми.

На рис.7.17 ребра АD, ВE і СF паралельні площині П₂, тому вони проецюються на цю площину без спотворення. Якщо ребра призми займають довільне положення, то перш ніж перейти до побудови розгортки, слід за допомогою способів перетворення комплексного креслення перевести їх у положення, паралельне до якоїсь площини проекцій.

Щоб отримати повну розгортку призми, необхідно до розгортки бічної поверхні добудувати основи призми – DА₀В₀С₀та DD₀E₀F₀, побудова яких очевидна з рис. 7.16.

В тому випадку, якщо основи призми займають загальне положення, слід попередньо визначити їх неспотворені розміри.

Спосіб розкочування доцільно використовувати для побудови розгортки поверхні призми у тому випадку, коли основа призми паралельна до якоїсь одної площини проекцій, а її ребра паралельні іншій площині проекцій.

Приклад 3.Побудувати розгорткупохилої тригранної призми АВСDEF (рис. 7.17).

Приймемо за площину розгортки площину D, яка проходить через ребро АD і паралельна до фронтальної площини проекцій. Сумістимо грань ADEB з площиною D. Для цього уявно розріжемо бічну поверхню призми по ребру АD, а потім повернемо грань ADEB навколо ребра АD (А₂D₂).

Для визначення суміщеного з площиною D положення ребра В₀Е₀з точки В₂проводимо промінь, перпендикулярний до А₂D₂, і засікаємо на ньому дугою радіуса |А₁В₁|, проведеною з центру А₂, точку В₀. Через В₀проводимо пряму В₀Е₀, паралельну А₂D₂.

Приймаємо суміщене положення ребра В₀Е₀за нову вісь обертання і повертаємо навколо неї грань ВЕFС до суміщення з площиною D. Для цього з точки С₂проводимо промінь, перпендикулярний до суміщеного ребра В₀Е₀, а за точки В₀– дугу кола радіусом, рівним |В₁С₁|; перетин дуги з променем визначить положення точки С₀. Через С₀проводимо С₀F₀паралельно В₀Е₀. Аналогічно знаходимо положення ребра А₀D₀. З'єднавши точки А₂В₀С₀А₀і D₂E₀F₀D₀прямими, отримаємо фігуру А₂В₀С₀А₀D₀F₀E₀D₂– розгортку бічної поверхні призми. Для отримання повної розгортки призми досить до якої-небудь з частин ламаної лінії А₂В₀С₀А₀і D₂E₀F₀D₀добудувати трикутники основи A₀B₀C₀та D₀E₀F₀.

Рис. 7.17. Розгортка поверхні способом розкочування

11.Вище ми визначали, що до розгортних поверхонь відносяться тільки поверхні з ребром звороту, конічна та циліндрична.

Розгортка будь-якої розгортної поверхні (окрім гранних) є наближеною. Це пояснюється тим, що при розгортці поверхні її апроксимують поверхнями вписаних або описаних многогранників, які мають грані у вигляді прямокутників або трикутників. Тому при графічному виконанні розгортки поверхні завжди доводиться здійснювати розгинання чи спрямлення кривих ліній поверхні, що неминуче призводить до втрати точності.

Розглянемо способи побудови розгорток двох поверхонь, що широко використовуються в практиці: конічної і циліндричної.

Розгортка бічної поверхні прямого кругового конуса являє собою круговий сектор, радіус якого дорівнює довжині твірної конічної поверхні L = SA, а центральний кут j = ´ 360 , де R – радіус кола основи конуса. (рис. 7.18).

Рис. 7.18. Розгортка бічної поверхні прямого кругового конуса

Задача на побудову розгортки бічної поверхні похилого конуса розв'язується так само, як і у випадку побудови розгортки бічної поверхні піраміди – способом трикутників:

1) Коло основи замінюється многокутником (на рис. 7.19 – восьмикутник), а конічна поверхня замінюється поверхнею піраміди з трикутними гранями.

2) Визначається натуральна величина ребер піраміди (на рис. 7.19 це зроблено способом обертання навколо проецюючої прямої);

3) Будується розгортка бічної поверхні піраміди (рис. 7.20).

Фігуру S₀1₀2₀3₀4₀……1₀приймаємо за наближену розгортку конічної поверхні. Чим більша кількість граней у вписаної піраміди, тим меншою буде різниця між дійсною і наближеною розгортками конічної поверхні.

Рис. 7.19. Побудова розгортки бічної поверхні похилого конуса

Рис. 7.20. Розгортка бічної поверхні похилого конуса

Розгорткою бічної поверхні прямого циліндра є прямокутник, довжина якого дорівнює довжині кола основи циліндра, тобто L = 2pR, а висота – дорівнює висоті циліндра h (рис. 7.21).

Рис. 7.21. Розгортка циліндричної поверхні

Для побудови розгортки бічної поверхні похилого циліндра використовуються ті ж самі способи нормального перерізу і розкочування, якими користувалися при розгортці бічної поверхні призми. В обох випадках циліндричну поверхню замінюють призматичною поверхнею, вписаною (або описаною) в задану циліндричну. Потім задачу розв’язують так, як це було показано у прикладах на рис. 7.16 і 7.17.

На рис. 7.22 показано побудову розгортки бічної поверхні еліптичного циліндра способом розкочування. Необхідні геометричні побудови виконуємо у наступній послідовності:

1. Ділимо коло основи циліндра на n рівних частин (на рис. 7.22 n = 6, точність побудов зростає зі збільшенням n ).

2. Через точки поділу проводимо прямолінійні твірні циліндричної поверхні - ребра призми, якою ми замінюємо циліндричну поверхню D.

3. Приймаємо за площину розгортки фронтальну площину S, яка проходить через ребро 1 призми, тотожне 1-й твірній циліндричної поверхні.

Подальші побудови аналогічні виконаним на рис.7.17 при побудові розгортки бічної поверхні призми ABCDEF.

Таким чином, розгорткою бічної поверхні похилого циліндра є плоска фігура, обмежена з двох боків прямими твірними, а з двох інших боків кривими – розгортками кривих основ циліндра (рис. 7.22).

Якщо твірні циліндра є прямими загального положення, то необхідно перетворенням комплексного креслення зробити так, щоб твірні циліндра зобразились в натуральну величину.

Рис. 7.22. Розгортка еліптичного циліндра

12.Теоретично нерозгортна поверхня не має своєї розгортки. Але на практиці для отримання необхідної нерозгортрої поверхні з листового матеріалу будують так звані умовні (наближені) розгортки нерозгортних поверхонь. При цьому доводиться окрім згинання здійснювати також стискування і розтягування певних ділянок листа.

Загальний метод розв’язання задачі на побудову умовної розгортки нерозгортної поверхні полягає у тому, що відсіки заданої поверхні замінюються відсіками розгортної поверхні з наступною побудовою розгортки цієї поверхні.

Переріжемо поверхню сфери горизонтально-проецюючими площинами D¹, D², D³, …, які проходять через центр сфери, на кілька рівних ділянок (скибок). Після цього одна з ділянок горизонтальними площинами рівня S¹, S², S³, … розрізається на плоскі многокутники (трикутник і трапеції) (рис. 7.23).

Елементи многокутників будуть проеціюватися в натуральну величину на П₁або П₂. По цих елементах будуємо дійсну величину однієї ділянки (рис. 7.23).

Повна розгортка поверхні сфери буде складатися з розгорток усіх ділянок (скибок).

Рис. 7.23. Розгортка поверхні сфери

Запитання для самоперевірки

1. Як будується крива лінія при перетині кривої поверхні площиною?

2. По яких лініях перетинається циліндрична поверхня площиною, проведеною паралельно до твірної цієї поверхні?

3. Які лінії отримують при перетині циліндра обертання площинами?

4. Як треба провести площину, щоб конічна поверхня перетиналась по прямих лініях?

5. Які криві отримують при перетині конуса обертання площинами?

6. Яку криву отримують при перетині сфери будь-якою площиною і якими можуть бути проекції цієї лінії?

7. У чому полягає загальний метод побудови точок перетину прямої лінії з кривою поверхнею?

8. Як провести допоміжну січну площину при перетині конуса прямою лінією, щоб отримати на поверхні конуса прямі лінії?

9. У чому полягає загальний метод побудови лінії перетину однієї поверхні іншою?

10. Які точки лінії перетину поверхонь називаються "характерними?"

11. Як будується лінія перетину однієї многогранної поверхні іншою?

12. У яких випадках для побудови лінії перетину однієї поверхні іншою рекомендується використовувати допоміжні січні площини, паралельні площинам проекцій?

13. По яких лініях перетинаються між собою: а) циліндричні поверхні, твірні яких паралельні між собою, б) конічні поверхні зі спільною вершиною?

14. Як можна використати випадок, коли одна з поверхонь, які перетинаються, займає проецююче положення?

15. У яких випадках для визначення лінії перетину двох поверхонь можна використати спосіб концентричних сфер? ексцентричних сфер?

16. Які лінії одержують при взаємному перетині двох поверхонь обертання, описаних навколо спільної для них сфери або вписаних у сферу?

17. По яких лініях перетинаються між собою дві співвісні поверхні обертання?

18. Вкажіть способи, які використовуються для побудови проекцій лінії перетину поверхонь?

19. Що називається розгорткою поверхні?

20. Які поверхні відносяться до розгортних?

21. Назвіть властивості поверхні, які зберігаються на її розгортці?

22. Назвіть способи побудови розгорток і сформулюйте зміст кожного з них.

23. В яких випадках для побудови розгортки використовуються способи: нормального перерізу, розкочування, трикутників?

24. У чому полягає загальний прийом розв’язання задачі на побудову умовної розгортки нерозгортних поверхонь?

25. Як можна побудувати розгортку зрізаної конічної поверхні з недосяжною вершиною?

26. Який спосіб доцільно використати для побудови умовної розгортки поверхні сфери?

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Бубеников А.В. Начертательная геометрия / А.В. Бубеников

2. Крылов Н.Н. Начертательная геометрия / Н.Н. Крылов, Г.С. Икон-никова, В.Л. Николаев, В.Е. Васильев; под ред. Н.Н. Крылова – М. : Высшая школа, 2002. – 224 с.

3. Михайленко В.Є. Нарисна геометрія / В.Є. Михайленко, М.Ф. Євстіфеєв, С.М. Ковальов, О.В. Кащенко : під ред. В.Є. Михай-ленка. – К. : Вища школа, 2004. – 303 с.

4.

ЗМІСТ

ПОЛТАВА, 2015

УДК 744

ББК 30.11

В75

Рекомендовано до друку вченою радою Полтавського національного технічного університету імені Юрія Кондратюка

Протокол

Рецензент: к.т.н., доц. Усенко В.Г.

Воронцов О.В.

Нарисна геометрія : конспект лекцій

Полтава : ПолтНТУ, 2015 – 110 с.

Конспект лекцій розраховано на студентів першого курсу напрямів підготовки 6.050601 – Теплоенергетика, денної форми навчання, які володіють знаннями з математики, в першу чергу з елементарної геометрії, в обсязі середньої школи.

Лекційний матеріал підготований відповідно до навчальної програми та складається з 8 лекцій.

Воронцов О.В.., 2015

ПРИЙНЯТА СИСТЕМА СКОРОЧЕНЬ І ПОЗНАЧЕНЬ

І. ПОЗНАЧЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ОБРАЗІВ У ПРОСТОРІ

Точки

А, В, С, … – великі букви латинського алфавіту;

1, 2, 3, … – арабські цифри.

2. Лінії

а, b, c, … – малі букви латинського алфавіту;

h – тільки горизонтальна пряма;

f – тільки фронтальна пряма;

р – тільки профільна пряма;

АВ, (АВ) – пряма, яка визначається точками А і В;

[А,В] – відрізок прямої, який обмежений точками А і В.

3. Площини і поверхні

Г, Δ, Ω, Σ, Θ, Φ, … – великі букви грецького алфавіту;

П₁, П₂, П₃, П₄, … – площини проекцій з відповідним індексом;

Σ (А, В, С) – площина, що задана точками А, В, С;

Σ (А, m) – площина, що задана точкою А і прямою m;

Σ (d IIm) – площина, що задана паралельними прямими d і m;

Σ (а ∩ с) – площина, що задана прямими а і с, які перетинаються;

Σ (Δ АВС) – площина, що задана трикутним відсіком АВС.

Кути

α, β, γ, … – малі букви грецького алфавіту;

а ^ с – кут між прямими а і с;

b ^ Г – кут між прямою b і площиною Г;

Σ ^ Г – кут між площинами Σ і Г.

5. Натуральні величини, довжина, відстань

|А, В| – відстань між точками А і В, довжина відрізка [АВ];

|А, b| – відстань від точки А до прямої b;

|а IIс| – відстань між паралельними прямими а і с;

|Σ II Г| – відстань між паралельними площинами Σ і Г;

|d @ b| – відстань між мимобіжними прямими;

|Δ ABC| – натуральна величина трикутника АВС;

|Σ ^ Г| – величина кута між площинами Σ і Г;

|а ^с| – величина кута між прямими а і с;

ІІ. ПОЗНАЧЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ЕЛЕМЕНТІВ КРЕСЛЕННЯ

1. Проекції геометричних елементів

Проекції геометричних елементів позначаються тими ж знаками, як і у просторі, з додаванням підрядкового індексу, який відповідає індексу площини проекцій:

А₁, А₂, А₃, …, 1₁, 1₂, 1₃, … – проекції точок;

а₁, а₂₂, а₃, …, h₁, h₂, f₁, f₂,… – проекції ліній;

Г₁, Г₂, Σ₁, Σ₂, … – проекції проецюючих поверхонь.

2. Позначення залежностей і інші символи

≡ – тотожно збігаються;

= – рівність, результат дії;

II – паралельність;

^ – перпендикулярність;

∩ – перетин;

∪– з'єднання;

×/ – мимобіжність;

Ì– належність елемента;

Ζ належність точки;

ËÏ– не належить і т.п.

3. Осі проекцій на комплексному кресленні

Х₁₂– вісь проекцій в системі площин проекцій (П₁, П₂);

Y₁₃– вісь проекцій в системі площин проекцій (П₁, П₃);

Z₂₃– вісь проекцій в системі площин проекцій (П₂, П₃);

Х_iy– вісь проекцій в системі площин проекцій (П_і, П_у).

4. Лінії зв’язку

(А₁А₂) – вертикальна лінія зв’язку (лінія зв’язку в системі площин проекцій П₁і П₂);

(А₂А₃) – горизонтальна лінія зв’язку (лінія зв’язку в системі площин проекцій П₂і П₃).

ЛЕКЦІЯ 1.

ВСТУП. МЕТОД ПРОЕКЦІЙ.