Лекция 9. 28-10-2014 Ортогональные системы функций, тригонометрический ряд Фурье

Скалярное произведение функций. Норма функции.

Ортогональные функции. Система ортогональных функций.

Вывод формулы для вида коэффициента (Фурье) разложения по ортог. системе.

или .

Равномерное, среднее и среднеквадратичное отклонение.

Многочлен

Теорема. Среднеквадратичное отклонение между и минимально коэффициенты

(совпадают с коэффициентами Фурье).

Неравенство Бесселя.

Взаимосвязь с векторной алгеброй, сумма квадратов, проекция вектора на плоскость.

Основная тригонометрическая система.

Ряд Фурье

и его коэффициенты , , .

Пример. Найти ряд Фурье для Ответ

Чертежи частичных сумм:

Лекция 10. 11-11-2014

Гармонический вид ряда Фурье.

Если ввести обозначение то тогда , .

Тогда ряд принимает вид: =

, где - амплитуда, - частота, - фаза.

Скалярное произведение комплекснозначных функций.

Докажем ортогональность системы и вычислим нормы этих функций, они равны .

Комплексный ряд Фурье. .

Понятие спектральной функции где . Амплитудный и фазовый спектр.

Пример. Найти комплексный ряд Фурье для функции:

 

отв

Преобразование Фурье

Интеграл Фурье

Симметричность формул прямого и обратного преобразования Фурье:

и

Пример. Найти пр. Фурье для функции Отв.

Лекция 11. 25-11-2014

Интеграл Фурье в действительной форме и его вывод из интеграла Фурье в комплексной форме.

, где , .

Глава 4. Преобразование Лапласа.

сходство и отличия от преобразования Фурье.

Понятия оригинала и изображения. Оригинал:

1) 2) равен 0 на левой полуоси 3) не более конечного числа разрывов, 1-го рода.

Почему невозможны разрывы 2 рода (возрастает к в точке разрыва быстрее, чем любая , нарушается условие на порядок роста).

Функция Хевисайда . Примеры поиска преобразования Лапласа:

, , .

Теорема 1. - о том, что обратное преобразование = интегралу по вертикальной прямой в комплексной плоскости.

Теорема 2 (2-я теорема разложения) - о вычислении с помощью вычетов:

Найти обратные преобразования Лапласа для функций:

, , (см те примеры что выше - это обратное действие для них),

Обратное преобразование для : соотв , откуда выведем .

соотв , 2 способа - через вычеты или разложением на .

Ещё поиск преобразований Лапласа: , .

Лекция 12. 9-12-2014

Преобразование Лапласа и его свойства (8 свойств).

Решение дифф. уравнений с помощью преобразования Лапласа.

Лекция 13. 23-12-2014

Свёртка, преобразование Лапласа и интегральные уравнения.