Теоретические сведения. Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут вместо

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут вместо .

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию , где – это иррациональное число, приближенно равное 2, 7. При этом пишут вместо .

Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей, т.е.

, где .

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, т.е.

, где .

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания, т.е.

, где .

Если , а – четное число, то справедлива формула

, где .

Формула перехода от основания к основанию имеет вид:

, где .

Если , то формула перехода примет вид:

, .

Если основание логарифма и число, стоящее под знаком логарифма, возвести в одну и ту же степень, отличную от нуля, то значение логарифм не изменится, т.е.

, где .

, где .

Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных.

Потенцирование – это преобразование, обратное логарифмированию.

Пример 1. Найти: 1) , если и ; 2) , если и .

Решение. 1) Имеем ;

; .

Итак, .

3) Разложим числа 168, 54, 24 и 12 на множители: , , , . Полагая и , выразим через и все логарифмы, содержащиеся в условии:

;

;

.

Согласно условию для определения и получаем систему уравнений

решая которую, находим , . Подставляя найденные значения и в равенство для определения , получим ответ: .

Пример 2. Упростить: 1) ; 2) .

Решение. 1) .

2) .