nbsp;   Следует соблюдать масштаб изображаемых величин

Реакции:

,

.

,

.

Проверка: .

Построение диаграмм и .

В поперечных сечениях стержня внутренние силовые факторы следует изображать в положительном направлении, согласно принятому правилу знаков:

Знак момента принят по знаку кривизны, знак поперечной силы по знаку касательных напряжений.

Сечение 1. (правая часть) ,

Из уравнений равновесия: следует

, (прямая)

. (парабола)

Парабола имеет экстремум (максимум или минимум), где её производная равна нулю.

,

.

Вначале следует построить диаграмму , затем, видя распределение касательных функции , изобразить её.

Результаты вычислений, по которым строятся диаграммы, рекомендуется представлять таблицей.

Сечение 2. (правая часть) ,

Координату сечения отсчитываем от опоры.

,

.

Текущую координату сечения можно отсчитывать от конца стержня.

При этом: ,

,

.

Сечение 3. (левая часть): ,

 

.

 

Для самоконтроля правильности построения диаграмм:

на диаграмме наблюдаются разрывы (скачки) функций в месте сосредоточенных сил, равные значениям этих силам. На диаграмме сосредоточенный момент изображён также соответствующим разрывом функций, сосредоточенные силы точкой излома (изменение угла наклона касательной).

2. Изображение изогнутой оси балки.

Без количественной оценки перемещений поперечных сечений балки её изогнутую ось изображаем по распределению изгибающих моментов по длине, зная, что в шарнирных опорных устройствах возможен поворот и линейные перемещения отсутствуют (если опоры не перемещаются), а в защемлении отсутствуют оба перемещения. Необходимо учитывать: положительному моменту соответствует положительная кривизна и наоборот; смена кривизны (точка перегиба), где изгибающий момент равен нулю; кривизна там больше, где больше изгибающий момент.

3.
Определить размеры поперечного сечения стержня из условия прочности:

.

Геометрические характеристики поперечного сечения.

Изгиб осуществляется относительно главной центральной оси Z, положение которой необходимо определить.

Сечение образовано из двух элементарных фигур: прямоугольника и полукруга, для которых геометрические характеристики обычно известны:

,

Определим положение центра тяжести всего сечения относительно вспомогательной оси (см. рисунок):

.

Момент инерции сечения относительно оси определяется как алгебраическая сумма моментов инерции элементарных фигур приведённых к этой оси:

.

Определение размеров поперечного сечения

Для стержня постоянного сечения по длине расчетная величина изгибающего момента есть максимальное его значение (по модулю) на диаграмме. Сечение с максимальным значением момента называется " опасным". В нашем случае:

,

Знак показывает, что верхняя часть сечения (выше нейтральной оси ) сжимается, нижняя часть растягивается. Координаты точек сечения наиболее удалённых от нейтрального слоя находятся в растянутой зоне:

Из условия прочности:

,

. Принимаем

Диаграмма распределения нормальных напряжений по высоте сечения.

Нормальные напряжения изменяются по линейному закону:

Для построения диаграммы достаточно определить напряжения в двух точках (максимально удалённых от нейтральной оси ):

Диаграмма распределения касательных напряжений по высоте сечения.

Касательные напряжения определяются по формуле Журавского:

, где

- напряжения на уровне удалённого от нейтральной оси ,

- статический момент площади выше уровня или ниже:

,

- ширина сечения (по материалу) на уровне .

 

Точки, в которых необходимо определить напряжения, указаны цифрами на поперечном сечении балки.

В наиболее удалённых точках поперечного сечения касательные напряжения отсутствуют. Точка 1 и 4: .

Точка 2:

,

.

Напряжения определяем в сечении, где сдвигающая сила имеет максимальное значение.

По диаграмме .

Точка 3:

.

Необходимо определить площадь сегмента и положение его центра тяжести.

Площадь сегмента находится как разность площади сектора с центральным углом () и треугольника:

,

.

Положение центра тяжести относительно центра круга:

,

Статический момент площади сегмента относительно оси, проходящей через центр круга:

.

В нашем случае: .

.

,

.

.

.

.

Схема III. (Изгиб консольной балки)

1.
Построение диаграмм поперечных сил и изгибающих моментов .

Реакции определяются из уравнений равновесия:

,

.

,

,

.

Как и для схемы II осуществляется построение диаграмм внутренних сил.

Заметим, что реакции можно не определять, если при определении внутренних сил на участках рассматривать правую часть стержня (перемещаться от свободного конца: сечения 4-3-2-1). Значение реакций можно увидеть на диаграммах.

3.Подбор размеров поперечного сечения балки из условия прочности.

Геометрические характеристики поперечного сечения.

Сечение имеет две оси симметрии и положение главных центральных осей известно.

Момент инерции сечения относительно главной центральной оси Z:

, .

Осевой момент сопротивления сечения определяется выражением:

.

По условию прочности требуемый момент сопротивления:

Получаем уравнение: ,

которое решается подбором (последовательными приближениями).

Назначим неравнополочный уголок №11/7, для которого из сортамента проката находим:

Следует обратить внимание на обозначение осей в сортаменте и принятое в расчёте.

Уравнение получает вид:

Примем :

(существенное превышение требуемого значения).

Уменьшим размер :

.

Недогрузка: .

С последним результатом:

Примечание: аналогичный результат можно получить с уголком меньших или больших размеров, подобрав соответствующий размер a.

Диаграмма распределения нормальных напряжений по высоте сечения. .

.

Диаграмма распределения касательных напряжений по высоте сечения.

.

.

5. Определение вертикального перемещения концевого сечения стержня.

Универсальное уравнение изогнутой линии включает " начальные параметры" и слагаемые от нагрузки (составляющие выражение изгибающего момента после двойного интегрирования):

Здесь: - перемещение сечения (прогиб) в начале координат,

- поворот сечения в начале координат,

- координаты приложения сосредоточенных моментов , сосредоточенных сил , начала равномерно распределённых нагрузок .

Примечание:

1. Начало координат принимается на одном из концов стержня

2. Распределённая нагрузка, если она не доходит до конца стержня, продлевается и одновременно компенсируется.

3. В уравнении слагаемые от нагрузки, включая и компенсирующие распределённые нагрузки, записываются последовательно при перемещении от принятого начала координат к концу стержня.

Начальные параметры необходимо определять из граничных условий (ограничений на перемещения в опорных устройствах).

Если начало координат в защемлении, начальные параметры:

, .

С этими параметрами уравнение 1-го участка: ,

,

уравнение 2-го участка: ,

,

уравнение 3-го участка: ,

. Можно заметить, что уравнение каждого следующего участка включает в себя предыдущие уравнения, поэтому обычно записывается только последнее уравнение, в котором уравнения всех других участков отмечаются разделителями с указанием диапазона изменения текущей координаты:

При и из уравнения находим перемещение свободного конца стержня .

.

Аналогичным образом, можно определить перемещения и других сечений стержня и построить график представляющий изогнутую ось стержня.

6. Определение силы, которую необходимо приложить на свободном конце, чтобы его перемещение отсутствовало.

Из решения задачи изгиба консольного стержня сосредоточенной силой приложенной на свободном конце перемещение его равно:

.

 

На основании принципа независимости действия сил перемещения при одновременном приложении нагрузки и силы X определяется алгебраической суммой перемещений от нагрузки и силы, действующих независимо друг от друга. Из условия, что перемещение концевого сечения должно отсутствовать, следует равенство перемещений:

.

Из него находим силу:

.

Далее определяются обычным образом реакции в защемлении , строятся диаграммы внутренних сил и по диаграмме изгибающих моментов изображается искривлённая ось стержня.

Решение проверяется по ранее записанному уравнению изогнутой оси. Следует убедится, что перемещение концевого сечения стержня с найденной силой действительно отсутствует. Для этого в уравнении необходимо заменить на , на :

(должно быть 0)

Погрешность расчёта составляет .

Перемещения других сечений определяются по уравнению изогнутой оси при соответствующих значениях текущей координаты . Например, перемещение сечения (), где приложена сосредоточенная сила Р будет:

= .

Можно заметить, что приведённое решение соответствует расчёту статически неопределимой балки с защемлёнием одного конца и с шарнирно-подвижной опорой на другом.