Расположению корней на комплексной плоскости

Системы первого порядка (n = 1)

Если единичной обратной связью охватить идеальное интегрирующее звено, то передаточная функция системы в замкнутом состоянии описывается как инерционное звено и может рассматриваться в качестве модели системы первого порядка. Такая система называется астатической системой первого порядка астатизма, поскольку её передаточная функция в разомкнутом состоянии W (s) содержит одно интегрирующее звено.

, . (1.3)

Передаточная функция системы первого порядка формируется и в том случае, когда единичной обратной связью охватывается идеальное инерционное звено. В этом случае система называется статической (передаточная функция в разомкнутом состоянии W (s) не содержит интегрирующих звеньев).

. (1.4)

В обоих случаях характеристическое уравнение системы имеет один отрицательный (и поэтому устойчивый) вещественный корень .

 

Системы второго порядка (n = 2)

Если обратной связью охватить реальное интегрирующее звено с передаточной функцией , то в зависимости от соотношения значений параметров k и T, передаточная функция системы в замкнутом состоянии представляется колебательным или апериодическим звеном второго порядка. Действительно, в соответствии с выражением (1.2) имеем

Рис. 1.2. Расположение корней апериодического звена второго порядка на комплексной плоскости

I m

Re

-α 2

-α 1

4 kТ < 1

(1.5)

Приравнивая нулю знаменатель передаточной функции (1.5), получаем характеристическое уравнение , решением которого являются два корня

. (1.6)

 

В случае, когда выполняется неравенство 4kТ < 1, корни характеристического уравнения s₁, s₂ – вещественные и отрицательные (см. рис 1.2),

,

и система представляется как апериодическое звено второго порядка

 

Если 4 kТ > 1, то корни уравнения (1.6) – комплексно-сопряженные

mm.

s

4 kТ > 1

s1

Re

Jm

s2

Рис. 1.3. Расположение корней колебательного звена на комплексной плоскости

Тогда после некоторых преобразований передаточная функция (1.5) преобразуется к виду, соответствующему колебательному звену

,

.

На рис. 1.3 представлено расположение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости для колебательного звена.

 

Заключение

1. Характер и показатели качества переходного процесса исключительно зависят от типа корней характеристического уравнения системы.

2. Система устойчива, если все ее вещественные корни отрицательны, а все комплексно-сопряженные корни имеют отрицательные вещественные части. Таким образом, устойчивые корни находятся в левой полуплоскости комплексной плоскости. Мнимая ось является границей устойчивости.

3. Быстродействие системы оценивается по времени переходного процесса t_п точно или приближенно равным t_п = , где h – расстояние до мнимой оси ближайшего к ней корня характеристического уравнения.

4. Колебательный характер переходного процесса вызывается наличием комплексно-сопряженных корней. Колебательностьтем выше, чем больше мнимая часть комплексных корней по отношению к их вещественной части.

5. Колебательность рассматривается как мера запаса устойчивости системы (чем выше колебательность, тем меньше запас устойчивости).