Примеры евклидовых пространств

В данном пункте приведены примеры наиболее часто встречающихся евклидовых пространств. Заметим, что в одном и том же линейном пространстве скалярное произведение можно ввести различными способами. Рассмотрим различные способы задания скалярного произведения в двух линейных пространствах и .

Рассмотрим линейное пространство . Его элементами являются вектор-столбцы . Скалярное произведение в нем можно задать двумя способами.

Первый способ (задание скалярного произведения стандартным образом):

.

Покажем, что при таком задании скалярного произведения в выполняются аксиомы евклидова пространства. Действительно, при всех , имеем:

,

,

,

, причем .

Второй способ (задание скалярного произведения в виде симметрической билинейной формы):

,

где симметрическая (, ) положительно определенная матрица -го порядка.

Замечание 3.1. Доказательство того факта, что скалярное произведение, заданное в виде симметрической билинейной формы, удовлетворяет всем аксиомам евклидова пространства, можно посмотреть в п. 6.7.

Рассмотрим линейное пространство . Его элементами являются многочлены относительно переменной степеней, не превосходящих натуральное число :

, .

Первый способ задания скалярного произведения:

.

Второй способ задания скалярного произведения:

где попарно различные действительные числа.

Можно показать, что в каждом случае выполняются все аксиомы евклидова пространства.