Функции нескольких переменных

1. Понятие частных производных

R

Рассмотрим вначале случай функции двух переменных. Пусть функция z = f (x, y) определена на открытом множестве , (х ₀, у ₀) – внутренняя точка множества G.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции z = f (x, y) по переменной х в точке (х ₀, у ₀) и обозначается , , , .

Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции z = f (x, y) по переменной у в точке (х ₀, у ₀) и обозначается , , , .

Итак, = , = .

Из определения следует, что частная производная функции z = f (x, y) по переменной х в точке (х ₀, у ₀) является обычной производной функции одной переменной f (х, у ₀) в точке х ₀. Если функция z = f (x, y) имеет частную производную в каждой точке (х, у)Î G, то говорят, что частная производная существует на G. В этом случае каждой точке (х, у)Î G соответствует число . Этим на множестве G определяются две функции, которые обозначаются и , и называются частными производными функции f на множестве G. Т.к. частная производная функции f определяется как обычная производная функции одной переменной х (или у), получаемой из f фиксированием другой переменной у (или х), то правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных функций нескольких переменных.

Пример 1. Найти частные производные функции .

R

D .

,

.

Аналогично определяются частные производные функции трех и большего числа переменных.

R

Пусть функция u = f (x ₁, x ₂,… x_n) определена на открытом множестве , - внутренняя точка множества G.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется частной производной функции u = f (x ₁, x ₂,… x_n) по переменной x_j в точке и обозначается , , , .

 

Геометрический смысл частных производных

R

Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве . Рассмотрим поверхность z = f (x, y), являющуюся графиком этой функции. Пусть точка M ₀(x ₀, y ₀, z ₀) принадлежит поверхности. Проведем через точку M ₀ плоскость x = x ₀, параллельную плоскости y O z. Кривая z = f (x ₀, y) является линией пересечения поверхности и плоскости. Частная производная данной функции по переменной у совпадает с производной функции f (x ₀, y) в точке у = у ₀:

.

Следовательно, равна угловому коэффициенту касательной к кривой z = f (x ₀, y) в точке M ₀(x ₀, y ₀, z ₀). , где a - угол между касательной и положительным направлением оси О у.

 

2. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных

	R

Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве , (х ₀, у ₀) – внутренняя точка множества G. Придадим значениям х ₀ и у ₀ приращения D х и D у, одновременно не равные нулю, так, что точка (х ₀+D х, у ₀+D у)Î G. Тогда полное приращение функции D z = f (х ₀+D х, у ₀+D у) -f (х ₀, у ₀).

Пример 2. Найти полное приращение функции z = x ² -xy + y ² в точке (х ₀, у ₀).

.

Если координатам фиксированной точки (х ₀, у ₀) придают фиксированные приращения, то D z –число. Если фиксируется только точка (х ₀, у ₀), то D z =D z (D x,D y) - функция переменных D x и D y. Если ничего не фиксируется, то D z =D z (х ₀, у ₀,D x,D y)– функция четырех переменных.

В примере D z можно представить в виде D z = А D х + В D у + a D х + b D у, где - постоянные, - функции от D x,D y, такие, что .

Но не для каждой функции двух переменных ее полное приращение можно представить таким образом.

R

Определение. Пусть функция z = f (x, y) определена на множестве . Функция f (x, y) называется дифференцируемой в точке (х ₀, у ₀)Î G, если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

D z = А D х + В D у + a D х + b D у, (1)

где А, В - постоянные, a=a (D x,D y), b=b (D x,D y)- бесконечно малые функции при D х ®0, D у ®0.

Полное приращение дифференцируемой функции можно записать также в виде:

D z = А D х + В D у + e × r, (2)

где , .

Покажем, что (1) эквивалентно (2).

1) (1)Þ(2). Т. к. первые два слагаемых одинаковые, то надо показать, что a D х + b D у можно представить в виде e × r (с выполнением соответствующих условий).

, где .

, (*)

т.к. . Лекция 2 (1с)

Пусть , тогда D x ®0, D y ®0. Значит, по условию, a ®0, b ®0. Следовательно, в силу неравенства (*), e ®0. Итак, e ®0 при r ®0.

2) (2)Þ(1). ,

где .

. (**)

Пусть D x ®0, D y ®0. Тогда r ®0. Отсюда, по условию, e ®0. А, значит, в силу неравенств (**), a ®0, b ®0.

Итак, условия (1) и (2) эквивалентны.

Замечание. Т.к. , то e × r = o (r) при r ®0, и (2) можно записать в виде

D z = А D х + В D у + o (r). (3)

Определение. Пусть функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀). Дифференциалом функции f в точке (х ₀, у ₀). Называется линейная относительно D x и D y часть полного приращения функции в точке (х ₀, у ₀).

Обозначается dz, df (х ₀, у ₀).

dz = А D х + В D у. (4)

Т.о., D z = dz + a D х + b D у или D z = dz + o (r). (5)

Т.к. D z-dz = o (r), то D z и dz одного порядка малости при r ®0. Из (5) также следует, что dz ¹0 – главная часть полного приращения функции при r ®0. Т.о., дифференциал обладает двумя свойствами:

1) является линейной частью приращения функции;

2) если dz ¹0, то он является главной частью полного приращения при r ®0.

Из второго свойства следует применение дифференциала к приближенным вычислениям:

D f (х ₀, у ₀)» df (х ₀, у ₀) при r ®0,

f (х ₀+D х, у ₀+D у)= f (х, у)» f (х ₀, у ₀)+ df (х ₀, у ₀).

Теорема 1 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Пусть функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀). Тогда ее полное приращение может быть представлено в виде (1)

D z = А D х + В D у + a D х + b D у,

где А, В - постоянные, .

Пусть D x ®0, D y ®0. Тогда a ®0, b ®0, и, значит, D f (х ₀, у ₀)®0. Т.е. бесконечно малым приращениям аргументов в точке (х ₀, у ₀) соответствует бесконечно малое полное приращение функции. Следовательно, по определению, функция z = f (x, y) непрерывна в точке (х ₀, у ₀).

Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости). Если функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀), то в этой точке существуют конечные частные производные , , и имеет место равенство:

, (6)

т.е. всегда .

Доказательство.

Т.к. функция дифференцируема в точке (х ₀, у ₀), то имеет место (1). Пусть х ₀ получает приращение D х ¹0, а у ₀ остается неизменным, т.е. D у =0. Тогда

.

Обозначим , . Тогда

.

Разделим обе части этого равенства на D х ¹0: .

Т.к. существует предел правой части при D х ®0: , то существует и предел левой части: , и эти пределы равны:

= А.

Аналогично доказывается, что = В.

Замечание 1. Теорема, обратная к теореме 1, неверна. Функция, непрерывная в точке (х ₀, у ₀), может быть не дифференцируема в ней.

Пример 3. z = f (x, y)=| x |.

R

R

D , функция непрерывна на .

R

Покажем, что функция дифференцируема на , кроме точек оси О у.

Следовательно, " у не существует. Из теоремы 2 следует, что функция не дифференцируема на оси О у. D

Замечание 2. Теорема, обратная к теореме 2, не имеет места. Функция f (x, y), имеющая частные производные и , может и не быть дифференцируемой в точке (х ₀, у ₀).

R

Пример 4. Доказать, что функция имеет в точке (0;0) частные производные, но не дифференцируема в этой точке.

D ,

,

.

Итак, частные производные существуют в точке (0;0).

Докажем, что функция не дифференцируема в точке (0;0). От противного. Пусть функция дифференцируема в точке (0;0). Тогда

может быть представлено в виде:

, где .

Т.к. , то

.

Докажем, что этот предел не существует. Пусть D х ®0, D у ®0, так, что D у = k D x, k ¹0. Тогда

.

Предел зависит от k, значит, он не существует. Поэтому сделанное предположение неверно, и функция не дифференцируема в точке (0;0). D

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции двух переменных). Пусть функция f (x, y) в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀) имеет частные производные и , которые непрерывны в точке (х ₀, у ₀). Тогда функция f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀).

Доказательство.

Пусть функция f (x, y) и ее частные производные и определены в некоторой окрестности точки М ₀(х ₀, у ₀): .

Придадим х ₀, у ₀ произвольные приращения D х и D у, не равные нулю одновременно и такие, чтобы . Тогда функция f получит приращение , которое можно представить в виде:

(7)

Первая скобка является частным приращением по переменной х функции f (x, y) в точке ; вторая скобка является частным приращением функции f (x, y) по переменной у в точке (х ₀, у ₀). Т. к. первая скобка является приращением функции одной переменной в точке х ₀, а вторая - приращением функции одной переменной в точке у ₀, то к ним можно применить теорему Лагранжа.

В силу условия функция имеет производную на , а функция имеет производную на .Тогда применяя теорему Лагранжа, получим

= , (8)

, . (9)

Подставим (8) и (9) в (7):

, .

Добавим и вычтем справа и :

. (10)

Обозначим , ,

, .

Тогда . Если доказать, что при , то функция f (x, y) будет дифференцируема в точке (х ₀, у ₀) по определению.

Пусть . Так как , то , , . Тогда в силу непрерывности частных производных в точке (х ₀, у ₀)

, .

Следовательно, , . По определению функция f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀).

 

3. Выражение дифференциала через частные производные

R

Пусть функция z = f (x, y) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀)Î G, f определена на . Тогда в этой точке имеет место соотношение

,

и функция имеет дифференциал

.

Под дифференциалами независимых переменных понимают произвольные приращения этих переменных, т. е. dx =D x, dy =D y.

Тогда .

Обозначим

- частный дифференциал функции по переменной х, - частный дифференциал функции по переменной у. Тогда

dz = d_xz + d_yz.

Очевидно, что дифференциал функции в точке (х ₀; у ₀) есть функция двух переменных D х и D у: df (х ₀; у ₀)= j (D x;D y). Если функция дифференцируема в каждой точке множества G, то говорят, что она дифференцируема на G. В этом случае f на G имеет дифференциал

, (х, у)Î G,

и dz = j (x; y;D x;D y) – функция четырех переменных.

 

4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Напомним вначале понятие касательной к кривой.

Пусть дана кривая и точка М ₀ на ней. Возьмем произвольную точку М, принадлежащую кривой, и проведем секущую М ₀ М. Пусть r = r (М ₀; М).

Определение. Прямая М ₀ Т называется касательной к кривой в точке М ₀, если угол j между этой прямой и секущей стремится к нулю, когда r ®0, независимо от способа передвижения точки М по кривой к точке М ₀.

Аналогично вводится понятие касательной плоскости к поверхности.

Пусть точка Р ₀ принадлежит поверхности, Р – произвольная точка поверхности. Проведем секущую Р ₀ Р, r = r (Р ₀; Р). Рассмотрим плоскость Q: P ₀Î Q.

Определение. Плоскость Q, проходящая через точку Р ₀, принадлежащую поверхности, называется касательной плоскостью в этой точке, если угол j между этой плоскостью и секущей Р ₀ Р стремится к 0, когда точка Р стремится к точке Р ₀, т.е. r (Р ₀; Р)®0.

Определение. Нормалью к поверхности в точке Р ₀ на ней называется прямая, проходящая через точку Р ₀ и перпендикулярная касательной плоскости в этой точке.

На рисунке P ₀ N – нормаль.

Теорема 4. Если функция z = f (x; y) дифференцируема в точке (х ₀; у ₀), то в точке P ₀(x ₀; y ₀; z ₀), где z ₀= f (x ₀; y ₀) существуют касательная плоскость и нормаль к поверхности z = f (x; y). Уравнение касательной плоскости имеет вид

, (11)

Нормаль задается уравнением:

. (12)

Доказательство.

Пусть P (x, y, z) принадлежит поверхности. Положим D х = х-х ₀, D у = у-у ₀, D z = z-z ₀. тогда условие (3) дифференцируемости функции z = f (x, y) примет вид

, (13)

где , . Рассмотрим уравнение

или .

Из курса аналитической геометрии известно, что это уравнение определяет в декартовой системе координат плоскость, проходящую через точку P ₀(x ₀; y ₀; z ₀) и имеющую нормальный вектор . Докажем, что эта плоскость Q является касательной в точке Р ₀ к поверхности. Для этого достаточно показать, что

1) плоскость Q проходит через точку Р ₀ поверхности;

2) угол j между нормальным вектором к этой плоскости и любой секущей Р ₀ Р стремится к , когда точка Р, принадлежащая поверхности, стремится к точке Р ₀, т.е. когда r ®0.

1) очевидно. Докажем 2).

Вычислим косинус угла j между векторами и .

, , ,

Þ .

Из (13) следует, что . Следовательно,

.

Значит, Þ , и, следовательно, 2) доказано.

Т.о., касательная плоскость к поверхности z = f (x; y) в точке (x ₀; y ₀; z ₀) задается уравнением (11), а условие дифференцируемости функции в точке (x ₀; y ₀) с геометрической точки зрения означает существование касательной плоскости к графику функции z = f (x; y) в точке P ₀(x ₀; y ₀; z ₀).

Напомним, что уравнение прямой, проходящей через точку P ₀(x ₀; y ₀; z ₀) и имеющей направляющий вектор , имеет вид

.

Так как направляющим вектором нормали является вектор , то уравнение нормали:

.

 

5. Геометрический смысл дифференциала

Пусть функция z = f (x; y) дифференцируема в точке (х ₀; у ₀). Тогда в этой точке существует дифференциал , а график функции в точке (x ₀; y ₀; z ₀) имеет касательную плоскость, задаваемую уравнением (11).

Р ₀ – точка касания, Q – касательная плоскость, т. L Î Q, [ P ₀ L ]Î Q, принадлежит поверхности z = f (x; y). P ₀ K ║ М ₀ М, М ₀ – проекция точки Р ₀ на х O у.

KP = MP – МК = MP – M ₀ P ₀= z–z ₀=∆ z.

∆ z – приращение аппликаты на поверхности в точке Р ₀, соответствующее приращениям ∆ x, ∆ y абсциссы и ординаты. KL = ML – MK = ML – M ₀ P ₀= ML – z ₀.(*) Из уравнения касательной плоскости ML = z ₀+ dz. Отсюда dz = ML – z ₀. (**)

Из соотношений (*) и (**) следует, что KL = dz.

Следовательно, дифференциал функции в точке M ₀(x ₀, y ₀) численно равен приращению КL аппликаты точки Р ₀ на касательной плоскости, соответствующему приращению аргументов ∆ x и ∆ y.