Производная по направлению. Градиент

 

1. Производная по направлению

Рассмотрим функцию трех переменных u = f (x, y, z), определенную на множестве G. Пусть точка . Через точку М ₀ проведём прямую l. Выберем произвольно на l точку М ₁ и установим таким образом направление . Тогда l – прямая с выбранным направлением.

Пусть М (x, y, z) – переменная точка на прямой l. Через М ₀ М обозначим ориентированную длину отрезка М ₀ М, т.е. М ₀ М =| М ₀ М |, если направление отрезка совпадает с направлением l (точки М и М ₁ лежат по одну сторону от точки М ₀) и М ₀ М =-| М ₀ М |, если направление отрезка не совпадает с направлением l. Полное приращение функции:

.

Определение. Если существует конечный предел

,

то он называется производной функции f в точке М ₀ по направлению l.

Обозначается .

Замечание. Производная функции f (x) в точке х ₀- это скорость изменения функции в точке х ₀. Частная производная - скорость изменения функции в точке М ₀ по направлению оси О х; частная производная - скорость при функции в точке М ₀ по направлению оси О у, а - по направлению оси O z. Тогда - скорость изменения функции в точке М ₀ по направлению l. Если направление l совпадает с положительным направлением оси О х, то = . Аналогично для . Т.е. частные производные функции – это производные по направлению координатных осей.

Теорема (достаточное условие существования производной по направлению l). Если u = f (x, y, z) дифференцируема в точке М ₀, то в этой точке существует производная по направлению, исходящему из точки М ₀, и

, (1)

где - направляющие косинусы направления l (координаты единичного вектора в этом направлении).

Доказательство.

Проведём через точку М ₀ прямую l возьмём на ней точку М , - ориентированная длина.

.

По условию функция f дифференцируема в точке М ₀. Следовательно, её полное приращение можно записать в виде

, (2)

где при . Разделим (2) на :

. (3)

Пусть М ® М ₀. Тогда . Тогда (проекции на оси координат) стремятся к 0. Следовательно, . Значит, правая часть равенства (3) при стремится к . Это означает, что существует и левой части: . Переходя в (3) к , получим (1).

Пример. . Найти производную в точке М ₀(1,-2,3) в направлении вектора, соединяющего точки А (1;2;3) и В (3;3;1).

(2,1,-2), , .

, ,

, ,

, ,

.

2. Градиент

Пусть функция u = f (x, y, z) определена и дифференцируема на множестве G.

Определение. Градиентом функции u = f (x, y, z) в точке М ₀ называется вектор с координатами .

Обозначается или .

Итак, .

Если функция f дифференцируема на G, то в каждой точке М G определён вектор . В этом случае говорят, что градиент функции f образует векторное поле на G, и оно называется векторным полем градиентов.

Теорема. Если функция u = f (x, y, z) дифференцируема в точке М ₀, то производная по направлению l в точке М ₀ равна проекции градиента функции f в этой точке на направление l.

Доказательство.

Т.к. функция f дифференцируема в точке М ₀, то в этой точке существуют производная по направлению l и градиент, т.е. имеем

,

.

Через обозначим единичный вектор направления l: .

Тогда (скалярное произведение).

Т.к. , где - угол между векторами и , то, учитывая, что а , получим . Следовательно, .

Свойства градиента

1. Производная в данной точке М ₀ по направлению l имеет наибольшее значение, если направление l совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение

.

Доказательство.

.

Ясно, что имеет наибольшее значение, когда , т.е. когда φ;=0. Это означает, что направление совпадает с направлением .

Лекц.3 2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору градиента, равна нулю (следует из доказательства теоремы).

3. В каждой точке М ₀ области определения функции градиент функции f направлен по нормали к поверхности уровня проходящей через эту точку.

4. ;

5. , где с = const;

6.

Свойства 4-6 следуют из определения градиента и правил дифференцирования.