Прямая линия на плоскости

Смешанное произведение трех векторов численно равно по абсолютной величине объему параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах.

Если три вектора , , лежат в одной плоскости, то их смешанное произведение равно нулю, т.е.

= 0, что и будет условием компланарности трех векторов.

Примеры

1. Найти смешанное произведение трех векторов

.

 

2. Вычислить объем пирамиды с вершинами: .

Найдем векторы

Вычислим их смешанное произведение , что численно равно объему параллелепипеда,построенного на этих векторах как на сторонах. А объем пирамиды составляет шестую часть объема параллелепипеда, таким образом .

3.Установить, лежат ли четыре точки в одной плоскости.

Найдем три вектора

Вычислим их смешанное произведение , т.е. данные векторы компланарны и, следовательно, четыре точки лежат в одной плоскости.

 

Прямая линия на плоскости

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

, , где - угол наклона прямой к оси ОХ.

Если 1) , то прямая проходит через начало координат;

2) , то прямая совпадает с осью ОХ.

Замечание. Уравнение описывает все прямые на плоскости за исключением прямых вида: .

Угол между двумя прямыми и .

. Угол между прямыми (рис. 1).

, Y

. Х

 

Рис. 1

Из полученной формулы следует:

1. Условие параллельности двух прямых; .

2. Условие перпендикулярности двух прямых; .

Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом

.

Уравнение пучка прямых