Теоретические положения. Импортировать файл с координатами станций в заданном районе и расчетными климатическими характеристиками в ГИС MapInfo

Импортировать файл с координатами станций в заданном районе и расчетными климатическими характеристиками в ГИС MapInfo, осуществить координатную привязку станций и представить результаты на географическом пространстве в двух видах: расчетные значения около станций и в виде пространственной интерполяционной модели, полученной с помощью интерполятора ГИС MapInfo.

Результаты лабораторной работы должны быть представлены в файле Word, включающем:

- рисунок с формированными слоями федеральных округов и населенных пунктов в заданном районе;

- таблицу с кодами, названиями, координатами и расчетными климатическими характеристиками в заданном районе;

- рисунок с метеорологическими станциями и рассчитанными климатическими характеристиками из ГИС MapInfo;

- рисунок с результатами моделирования пространственной климатической изменчивости TIN-методом ГИС MapInfo.

 

Лабораторная работа 4

«Применение статистических методов для оценки климатических изменений»

Цель работы:

научиться рассчитывать основные виды моделей климатических изменений (стационарная выборка, модель линейного тренда, модель ступенчатых изменений и гармоническая модель), оценивать статистическую значимость моделей и определять наиболее эффективную модель.

 

Исходный материал для выполнения работы:

многолетние ряды метеорологических характеристик по метеостанции (среднемесячная температура воздуха или суммы осадков за месяц).

 

Теоретические положения

Основные виды моделей для оценки климатических изменений во времени это:

- стационарная модель.

- модель линейного тренда,

- ступенчатая модель,

- гармоническая модель.

Механизм монотонных изменений (тренда) имеет место в равновесной системе, которая практически сразу же откликается на направленные внешние воздействия. Механизм ступенчатых изменений или триггерный механизм характеризует неравновесную систему, которая некоторое время может нейтрализовывать направленные внешние воздействия или сопротивляться им до тех пор пока их суммарный эффект не переведет систему на новый уровень. Стационарный временной ряд, поэтому может быть частным случаем существования как равновесной, так и неравновесной систем. В первой – это проявление случайных внешних воздействий, во второй – период стабильного существования, когда система еще достаточно инерционна, чтобы противостоять внешнему воздействию. Аналогичным образом, гармонические колебания могут иметь место или относительно постоянного среднего в стационарной модели или относительно линии тренда в нестационарной модели.

Кроме того, тип изменений может зависеть и от пространственного масштаба обобщения данных. Так, глобальная температура вполне может характеризоваться монотонным трендом, т.к. она отображает составляющую теплового баланса всей планеты. Климатические же изменения осадков для отдельной территории больше определяются сменой типов атмосферной циркуляции, что проявляется в виде ступенчатых переходов от одного стационарного состояния (типа циркуляции) к другому.

Для выполнения лабораторной работы рассматриваются два вида теоретических положений:

- расчет параметров и коэффициентов для представленных моделей;

- выбор наиболее эффективной модели из нескольких.

 

Каждая из приведенных моделей аналитически представляется следующим образом.

1). Стационарная модель характеризуется неизменностью во времени основных параметров ряда (среднего значения и среднего квадратического отклонения):

 

Sr (t) = const, σ(t)=const, (1)

 

где Sr и σ – среднее значение ряда и среднее квадратическое отклонение, t – время.

 

Практическая проверка условия (1) осуществляется на основе сравнения средних значений и дисперсий за две равные половины временного ряда по критериям Стьюдента и Фишера (см. лабораторную работу №1).

Пример временного ряда, соответствующего стационарной модели приведен на рис.1.

 

 

Рис. 1. Среднемесячные температуры воздуха за январь по станции Ханты-Мансийск.

 

 

2). Модель линейного тренда характеризуется зависимостью рассматриваемой климатической характеристики (Y) от времени (t):

 

Y(t) = b₁t +b₀, (2)

 

где: b₁, b₀ – коэффициенты уравнения регрессии, определяемые методом наименьших квадратов (МНК):

 

b₁ = (∑ (Y_i - Y_cp)(t_i - t_cp))/(∑(t_i - t_cp)², (3)

 

b₀ = Y_cp - b₁t_cp. (4)

 

 

где: Y_ср, t_ср – средние значения для рядов климатической характеристики и времени.

 

Статистическая значимость модели линейного тренда оценивается по статистической значимости коэффициента b₁ или коэффициента корреляции R зависимости (2), который рассчитывается по формуле:

_____________________

R = (∑ (Y_i - Y_cp)(t- t_ср))/√(∑(Y_i - Y_cp)²∑(t_i –t_cp)²), (5)

 

Статистическая значимость R определяется из условия R≥R*, где R* - критическое значение коэффициента корреляции, определяемое по Табл.1 при заданном числе степеней свободы (ν) и уровне значимости (α). где ν = n-2, n- объем ряда, α=5%.

 

 

Таблица 1.

Критические значения коэффициента парной корреляции R*

Число степеней свободы (ν)	Уровень значимости (α)
5%	1%
	0.576	0.708
	0.553	0.684
	0.532	0.661
	0.514	0.641
	0.497	0.623
	0.482	0.606
	0.468	0.590
	0.456	0.575
	0.444	0.561
	0.433	0.549
	0.423	0.537
	0.413	0.526
	0.404	0.515
	0.396	0.505
	0.388	0.496
	0.381	0.487
	0.374	0.478
	0.367	0.470
	0.361	0.463
	0.355	0.456
	0.349	0.449
	0.325	0.418
	0.304	0.393
	0.273	0.354
	0.250	0.325
	0.232	0.302
	0.217	0.283
	0.205	0.267
	0.195	0.254
	0.178	0.232
	0.159	0.208
	0.138	0.181
	0.124	0.162
	0.113	0.148

 

Пример модели линейного тренда показан на рис.2. для ряда концентрации углекислого газа в атмосфере.

 

 

Рис.2. Линейный тренд роста концентрации CO₂ в атмосфере.

 

3). Модель ступенчатых изменений аналогична двум (или нескольким) стационарным моделям для двух (или нескольких) частей временного ряда, что характеризуется неизменностью во времени среднего значения и среднего квадратического отклонения для каждой части ряда:

 

Sr1(t1) = const1, σ1(t1)=const1,

 

Sr2(t2) = const2, σ2(t2)=const2, (6)

 

где Sr1, σ1– среднее значение и среднее квадратическое отклонение первой части ряда при изменении t1 от 1 до tn,

Sr2, σ2 – среднее значение и среднее квадратическое отклонение второй части ряда при изменении t2 от tn+1 до n, n – объем ряда.

 

Момент ступенчатых изменений (tn) определяется визуально или на основе дополнительной информации о факторе и дате нарушения стационарности (например, изменение индекса атмосферной циркуляции), а также может быть определен итерациями при достижении минимального значения сумм квадратов отклонений двух частей временного ряда:

 

σ1²*(n1-1)+σ2²*(n2-1)=min, (7)

 

где: n1, n2 – объемы каждой из двух частей временного ряда.

 

Пример модели ступенчатых изменений показан на рис.3 для ряда сумм осадков на метеостанции Октябрьское (Западная Сибирь) за январь, для которого ступенчатые изменения обусловлены сменой регистрирующих приборов.

 

Рис.3. Многолетний ряд сумм осадков на метеостанции Октябрьское за январь.

 

 

4). Гармоническая модель представляет временной ряд в виде суммы гармоник с разными периодами и амплитудами и может быть выражена в виде регрессионного уравнения:

 

, (8)

 

где: Y_i – рассматриваемая климатическая характеристика; t_i – годы, Т₁, Т₂, … - периоды циклов, B₁,B₂,…, B₀ – коэффициенты, определяемые по МНК и связанные с амплитудой гармоник и их фазой.

Статистическая значимость гармонической модели определяется статистической значимостью ее коэффициентов B₁,B₂,…, B₀. В случае одной гармоники коэффициенты уравнения (8) определяются по формулам:

B₁ = (∑ (Y_i - Y_cp)(X_i - X_cp))/(∑(X_i - X_cp)², (9)

 

B₀ = Y_cp - B₁X_cp. (10)

 

где: X_i=sin(t_i/T₁) – функциональное преобразование.

 

Статистическая значимость коэффициента B₁ определяется из следующего неравенства:

 

B₁ /s_B1³ B_кр, (11)

 

где: s_B1 - стандартная случайная погрешность коэффициента B₁,

B_кр - критическое значение отношения B₁/s_B1, обычно задается 2.0, что соответствует 95%-ному доверительному интервалу коэффициента B₁:

B₁ -2s_B1 ≤ B₁ ≤ B₁+2s_B1, (12)

и:

______________

s_B1= s_Y √(1-R²)/(s_X √(n-1)), (13)

 

_____________________

R = (∑ (Y_i - Y_cp)(X_i - X_cp))/√(∑(Y_i - Y_cp)²∑(X_i –X_cp)²), (14)

 

где: Y_cp, X_cp, s_Y, s_X – средние значения и стандартные отклонения рядов Y_i и X_i; R – коэффициент корреляции.

 

Неравенство (12) свидетельствует о том, что выборочные значения коэффициента B₁ находятся внутри доверительного интервала и, если этот коэффициент является статистически значимым, то доверительный интервал не должен включать нулевое значение.

В случае двух гармоник (X1_i=sin(t_i/T₁), X2_i=sin(t_i/T₂)) коэффициенты B₁ и B₂ в (8) определяются по формулам:

 

(15)

 

(16)

 

где: R – коэффициенты парной корреляции между рядами Y, X1, X2.

 

Чтобы не включать все периоды циклов в уравнении (8), например, от 2 до 100 лет, можно априори установить те гармоники, который вносят наибольший вклад в колебания рассматриваемой климатической характеристики. Для этой цели строится автокорреляционная функция:

 

r_τ =f(τ), (17)

 

где: r_τ - коэффициенты автокорреляции, τ - лаг или сдвиг по времени в годах (например, от 1 до 30 или до 100 лет).

 

Общая формула для вычисления коэффициентов автокорреляции (r) имеет следующий вид:

 

(18)

 

При τ =1 имеет место частный случай – коэффициент автокорреляции между смежными членами ряда, который вычисляется по формуле:

(19)

 

где: , .

 

 

Пример построенной автокорреляционной функции показан на рис.4, из которой следует, что пики функции при статистически значимых коэффициентах автокорреляции r>0.24 имеют место для периодов Т=2 года и для интервала периодов Т=24-27 лет. Именно эти периоды циклов и следует включать в уравнение (8) в качестве предполагаемых факторов.

 

 

 

Рис.4. Автокорреляционная функция многолетнего ряда среднемесячных температур воздуха января для Санкт-Петербурга.

 

Следующий раздел теоретических положений связан с выбором аиболее эффективной модели временного ряда из нескольких. Выбор наиболее эффективной модели аппроксимации временного ряда осуществляется на основе сравнения остаточных дисперсий или стандартных отклонений относительно рассматриваемой базовой модели. В нашем случае базовой является модель стационарной выборки и для нее остаточная дисперсия (или стандартное отклонение) представляет собой дисперсию или среднее квадратическое отклонение исходного ряда наблюдений.

Для модели линейного тренда и для гармонической модели стандартное отклонение остатков вычисляется по формуле:

 

(20)

 

где: σ_y – стандартное отклонение исходного ряда (модель стационарного среднего);

σε; – стандартное отклонение остатков относительно модели линейного тренда или гармонической модели;

R – коэффициент корреляции уравнения линейного тренда (2) или гармонической модели (8).

 

Для модели ступенчатых изменений стандарт остатков вычисляется по информации за два интервала времени и по формуле:

 

(21)

 

где: σ_ступ – стандартное отклонение остатков относительно модели ступенчатых изменений;

σ₁, σ₂ - стандартные отклонения двух отрезков временного ряда, на которые разбивается ряд наблюдений по дате ступенчатых изменений,

n₁, n₂ - объемы двух частей ряда наблюдений в годах.

 

Для количественной оценки отличий модели тренда, модели ступенчатых изменений и гармонической модели от модели стационарного среднего рассчитываются относительные погрешности по формулам:

 

(22)

 

(23)

 

(24)

 

где: Δ_тр, Δ_гар, Δ_cтуп – относительные погрешности или отличия (в %) модели тренда, гармонической модели и модели ступенчатых изменений от модели стационарной выборки;

σ_εгар – стандартное отклонение остатков относительно гармонической модели;

 

 

Следующее теоретическое положение состоит в том насколько полученное преимущество той или иной модели относительно базовой (стационарной) является статистически значимым. Для оценки статистической значимости монотонных (трендовых), гармонических и ступенчатых изменений во временных рядах применяется критерий Фишера, количественно показывающий насколько статистически значимо отличаются остаточные дисперсии выбранных моделей от дисперсии временного ряда (стационарной модели). Статистики критерия Фишера для каждой из трех конкурирующих моделей по отношению к модели стационарной выборки вычисляются по формулам:

(25)

(26)

 

(27)

 

В числителе всегда будет дисперсия исходного ряда наблюдений, т.к. она является наибольшей или по крайней мере равна остаточной дисперсии конкурирующей модели. В случае, если расчетное значение статистики Фишера оказывается больше критического, то дисперсии двух моделей имеют статистически значимое различие и соответствующая модель (тренда, гармоническая или ступенчатых изменений) статистически эффективнее, чем модель стационарной выборки.