Этапы построения прогноза по временным рядам

 

Прогнозирование экономических процессов, которые могут быть представлены одномерными временными рядами, сводится к выполнению следующих этапов:

1. Предварительный анализ данных;

2. Построение модели, т.е. выбор кривых, описывающих явление, и численное оценивание параметров модели;

3. Проверка адекватности моделей и оценка их точности;

4. Выбор лучшей модели;

5. Расчёт точечного и интервального прогноза.

Охарактеризуем некоторые из этих этапов.

При предварительном анализе данных происходит выявление аномальных отклонений, проверка наличия тренда, сглаживание временных рядов и расчёт показателей развития динамики экономических процессов.

Выявление аномальных отклонений производится с помощью критерия Ирвина:

Пусть y₁, y₂,..., y_n – временной ряд. Вычислим значение критерия

, где .

S – несмещённое среднеквадратическое отклонение данного ряда

– выборочное среднее ряда или средний уровень ряда.

Далее проверяется гипотеза : «аномальные данные отсутствуют». По таблицам для критерия Ирвина находится , если , то y_t считается нормальным; если , то y_t считается аномальным. В этом случае аномальное значение исключается из ряда данных и вместо него подставляют обычно среднеарифметическое из двух соседних значений.

 

Выявление тренда обычно происходит визуальным образом и зависит от опытности исследователей. Основная цель – угадать функцию, по которой развивается процесс. Здесь требуется информация о самом явлении.

При построении модели используется понятие кривых роста. Обычно используют кривые роста, стараясь выбрать кривую максимально простого вида:

– линейный тренд;

– квадратичный тренд;

– экспоненциальный тренд.

Подборка коэффициентов и выбор моделей осуществляется на основании метода МНК (метод наименьших квадратов). Пусть – прогнозное (вычисление по модели) значение. – наблюдавшийся уровень ряда. Коэффициенты модели подбираются таким образом, чтобы сумма . Модель, для которой достигнут такой минимум, считается наилучшей. Например, при (уравнение регрессии).

Оценка качества построенной модели

Пусть построена некоторая модель, на основании которой вычислено значение

– значение, вычисленное по модели;

– наблюдение;

– остаток в определении .

Для того, чтобы модель могла считаться хорошей, необходимо доказать, что ряд остатков является случайным и подчиняется нормальному закону распределений. Для доказательства используются:

 

1. Проверка равенства нулю математического ожидания. Выдвигается основная гипотеза

: , то есть проверяется

Для проверки этой гипотезы строится критерий или случайная величина Стьюдента:

Здесь – несмещённое среднеквадратичное отклонение ряда остатков. По таблице распределения Стьюдента при (заданном) находим Если – считают, что , если – считают, что . Вероятность – является вероятностью того, что мы ошибёмся, приняв гипотезу , то есть вероятность ошибки первого рода.

 

2. Проверка условия случайности возникновения отдельных отклонений от тренда. Например, метод поворотной точки: точка считается поворотной, если она одновременно меньше или больше двух соседних значений. Считается, что остатки случайны, если поворот точки приходится на каждые 1,5 значения. Если больше или меньше, то остатки нельзя считать случайными и модель следует уточнить.

 

3. Проверка наличия или отсутствия автокорреляции в отклонении модели. Автокорреляция означает, что некоторое значение зависит от одного или нескольких своих предыдущих значений. Наличие автокорреляции проверяют с помощью критерия Дарбина-Уотсона:

Для статистики Дарбина-Уотсона также существуют таблицы критических значений. В этих таблицах указывается интервал , при попадании в который, принимается то или иное решение. В частности, если , то ряд остатков не коррелирован, если , то имеется корреляция. При имеется неопределённость, и сделать вывод о наличии или отсутствии корреляции нельзя. В случае, когда , говорят о наличии отрицательной автокорреляции. Если не удалось решить вопрос о наличии или отсутствии автокорреляции, то необходимо использовать более точные методы.

4. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения. Используется RS-критерий:

, где – несмещённое среднеквадратичное отклонение.

Если значения RS согласно таблице критерия попадает между критическими значениями , то гипотезу о нормальном распределении принимают, в противном случае ряд из остатков нельзя считать нормально распределённым, а модель – хорошей.

Модель считается адекватной, если выполняются все пункты.