Методы интеграции

1. Взятие конечных разностей. Пусть исходный ряд не является стационарным. Построим ряд , где . Если этот ряд удовлетворяет условиям стационарности, то исходный ряд обозначают , и делают вывод, что исходный закон близок к линейному. В противном случае переходят к ряду , где .Аналогично, обозначают , и делают вывод, что закон близок к квадратичному.

2. Логарифмирование цепных индексов, то есть . Имеет место, если временной ряд близок к экспоненте .

 

Процедуру интеграции приходится применять довольно часто, но после этого в стационарном ряде можно говорить о постоянстве коэффициентов автокорреляции второго порядка. В зависимости от характера поведения этих коэффициентов разделяют следующие процессы:

AR(k) –(autoregressive model)- модель авторегрессии порядка k; MA(m) – Moving Average – скользящее среднее порядка m; ARMA(k,m) – модель авторегрессии-скользящего среднего порядка k; ARIMA(k,d,m) – интегрированная модель авторегрессии-скользящего среднего, k-порядок авторегрессии, m- порядок скользящего среднего, d-порядок интеграции.

Перейдем к рассмотрению основных моделей.

Модель авторегрессии порядка k - AR(k)

Пусть имеется временной ряд , или , где – текущее значение уровня.

Основное предположение состоит в том, что текущее значение уравнения ряда является линейной комбинацией k предыдущих значений и случайной ошибки.

Общая модель авторегрессии:

,

где и – параметры модели или коэффициенты модели, – случайная ошибка или «белый шум». При построении модели AR необходимо решить две задачи: какой порядок модели следует выбрать и чему равны коэффициенты модели. Решение этих вопросов называется процедурой оценки моделей.

(1).

Без ограничений предполагаем, что .

{ Действительно, предположим , тогда , , , , . }

Умножим выражение (1) на величину и возьмём от полученного выражения математическое ожидание

(2)

Рассмотрим выражение ковариации . Введём обозначение - коэффициент автоковариации. Тогда выражение (2) может быть записано в следующем виде:

(2’)

.

Независимость следует из того, что ошибка текущего время не зависит от того, какие значения были получены до текущего момента времени . Разделим уравнение 2’ на , получим

, (3)

где .

– теоретический коэффициент автокорреляции порядка .

Таким образом, получили выражение для коэффициентов автокорреляции.

 

Нахождение коэффициентов модели. Для модели AR(k) имеет место (3). При помощи этого уравнения можно получить оценки коэффициентов . Используется следующая идея: по результатам наблюдения получим выборочные коэффициенты корреляции . Затем вместо теоретических коэффициентов автокорреляции подставляют в (3) выборочные значения и получают

систему уравнений Юла-Уокера для определения оценок коэффициентов модели:

(4)

- оценки коэффициентов

В этой системе известны , неизвестны . Заметим, что с теоретической точки зрения оценки Юла-Уокера должны быть состоятельными и несмещёнными(см. курс теории вероятностей и математической статистики). Однако на практике это не всегда выполняется, наиболее сильно нарушается требование несмещённости. Причина заключается в том, что ошибки в действительности зависят от предыдущих значений , но так слабо, что их полагают белым шумом. Однако это все-таки отражается на модели и снижает ее точность. Наиболее точно оценки коэффициентов модели можно получить для AR(1), AR(2)