Математическая обработка результатов измерений. Общий алгоритм статистической обработки результатов прямых равнорассеянных измерений.
При математической обработке результата косвенного измерения следует выполнить следующие операции. 1. Для каждой из непосредственно измеряемых величин вычислить: а) среднее арифметическое результатов наблюдений x; б) среднее квадратическое отклонение результата измерения Sx; в) доверительную границу случайной погрешности результата измерения εx; г) доверительную границу неисключенной систематической погрешности результата измерения θx; д) доверительную границу погрешности результата измерения Δх. 2. Записать результат каждого прямого измерения в виде X = x, Δx = …, 3. Вычислить наиболее вероятное значение результата косвенного измерения y. 4. Получить (если она не дается в руководстве к лабораторной работе) 16 выражение для относительной погрешности у косвенного измерения и найти ее числовое значение. (При выводе формулы для γ расчетную формулу Y= f (Х1, Х2,..., Хт) целесообразно предварительно прологарифмировать). 5. Вычислить доверительную границу абсолютной погрешности ΔY результата косвенного измерения: ΔY =γy 6. Записать окончательный результат измерения Y = y
± ΔY Р = 0,95.
Статистическая обработка результатов прямых равнорассеянных измерений. Оценка вида распределения случайных погрешностей измерений. Построение гистограммы и полигона статистического распределения. Аппроксимация статистических распределений с использованием различных теоретических функций распределения плотности вероятности, описывающих соответствующие законы распределения. При статистической обработке группы результатов наблюдений следует выполнить следующие операции: исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений; вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения; вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения; вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения; проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению; вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения; вычислить границы неисключенной систематической погрешности (неисключенных остатков систематической погрешности) результата измерения; вычислить доверительные границы погрешности результата измерения. 1.2. Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости q от 10 до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике выполнения измерений. 1.3. Для определения доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность P принимают равной 0,95. В тех случаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности P = 0,95, допускается указывать границы для доверительной вероятности P = 0,99. В особых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается вместо P = 0,99 принимать более высокую доверительную вероятность Тенденции изменения результатов в сериях измерений, проявляющиеся на точечных диаграммах, представлены на рис. 2 (а – наклон, б – мода, в – гармонические изменения аппроксимирующей линии).
Наличие закономерностей изменения результатов свидетельствуют о присутствии в серии переменных систематических погрешностей. Характер таких погрешностей в первом приближении можно оценить по виду наблюдаемой тенденции изменения результатов (монотонно возрастающие или убывающие, переменные с одним или несколькими экстремумами…), для оформления которой используют аппроксимирующие линии. Аппроксимацию, как правило, осуществляют простейшими линиями: прямой, участком дуги окружности или параболы, для периодических изменений – синусоидой (косинусоидой). Отклонения результатов от аппроксимирующей линии могут рассматриваться как случайные составляющие погрешности измерения. Более представительной принято считать среднее квадратическое значение отклонений, которое рассчитывают с использованием статистической обработки всех значений отклонений в серии. Многократные измерения одной и той же физической величины с использованием одной методики выполнения измерений позволяют численно оценить сходимость измерений внутри серии. Высокая сходимость результатов отражается на диаграмме отсутствием тенденций изменения результатов и малыми случайными отклонениями от аппроксимирующей линии (от «текущего среднего значения»). Анализ результатов измерений каждой отдельной серии обычно начинают с выявления и качественной оценки тенденции изменения результатов измерений. На диаграмму наносят аппроксимирующую линию, соответствующую характеру изменения результатов серии. При анализе диаграмм могут встретиться три варианта: · серия без тенденции изменения результатов; Свидетельствует об отсутствии в серии переменной систематической погрешности, диаграмму аппроксимируют прямой линией, параллельной оси абсцисс. Такая аппроксимация свидетельствует о наличии в серии постоянной систематической составляющей погрешности, значение которой оценить невозможно(может быть значимая либо пренебрежимо малая погрешность). · серия без явно выраженной тенденции изменения результатов; При отсутствии в серии явно выраженной тенденции изменения результатов ее также как и в первом варианте аппроксимируют прямой линией, параллельной оси абсцисс. · серия c явной тенденцией изменения результатов. Для аппроксимации диаграмм c явной тенденцией по возможности выбирают наклонные прямые линии или простейшие кривые линии в виде параболы, дуги окружности, синусоиды. При любой аппроксимации обязательно будут наблюдаться несовпадение результатов и аппроксимирующей линии. Отклонения могут быть вызваны объективными причинами (наличие случайных погрешностей в результатах измерений), или несоответствующей аппроксимацией результатов (неправильный характер и расположение аппроксимирующей линии). Проведенные на точечной диаграмме аппроксимирующая линия и эквидистанты позволяют количественно оценить не только размахи отклонений R' и R (общий размах результатов измерений и размах частично исправленных результатов измерений), но и другие параметры и характеристики точечной диаграммы, включая изменение прогрессирующей составляющей в серии результатов (приращение а в пределах серии), амплитуду А или удвоенную амплитуду 2А периодической составляющей, а также ее ориентировочный период Т в числах (номерах) наблюдений.
39. Статистическая обработка результатов прямых равнорассеянных измерений. Проверка нормальности распределения результатов наблюдений и случайных погрешностей. Критерий Пирсона (χ2) При статистической обработке группы результатов наблюдений следует выполнить следующие операции: исключить известные систематические погрешности из результатов наблюдений; вычислить среднее арифметическое исправленных результатов наблюдений, принимаемое за результат измерения; вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата наблюдения; вычислить оценку среднего квадратического отклонения результата измерения; проверить гипотезу о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению; вычислить доверительные границы случайной погрешности (случайной составляющей погрешности) результата измерения; вычислить границы неисключенной систематической погрешности (неисключенных остатков систематической погрешности) результата измерения; вычислить доверительные границы погрешности результата измерения. 1.2. Проверку гипотезы о том, что результаты наблюдений принадлежат нормальному распределению, следует проводить с уровнем значимости q от 10 до 2%. Конкретные значения уровней значимости должны быть указаны в конкретной методике выполнения измерений. 1.3. Для определения доверительных границ погрешности результата измерения доверительную вероятность P принимают равной 0,95. В тех случаях, когда измерение нельзя повторить, помимо границ, соответствующих доверительной вероятности P = 0,95, допускается указывать границы для доверительной вероятности P = 0,99. В особых случаях, например при измерениях, результаты которых имеют значение для здоровья людей, допускается вместо P = 0,99 принимать более высокую доверительную вероятность Эта задача представляет собой частный случай более общей проблемы, заключающейся в подборе теоретической функции распределения, в некотором смысле наилучшим образом согласующейся с опытными данными. При большом числе результатов наблюдений (n >40) данная задача решается в следующем порядке. Весь диапазон полученных результатов наблюдений X max… X min разделяют на r интервалов шириной Δ Xi (i=1,2,… r) и подсчитывают частоты mi, равные числу результатов, лежащих в каждом i -м интервале, т. е. меньших или равных его правой и больших левой границы. Отношения где n — общее число наблюдений, называются частостями и представляют собой статистические оценки вероятностей попадания результата наблюдений в i -й интервал. Распределение частот по интервалам образует статистическое распределение результатов наблюдений. Если теперь разделить частость на длину интервала, то получим величины (51) являющиеся оценками средней плотности распределения в интервале Δ Xi. Отложим вдоль оси результатов наблюдений (рис. 11) интервалы Δ Xi в порядке возрастания индекса i и на каждом интервале построим прямоугольник с высотой, равной pi *. Полученный график называется гистограммой статистического распределения. Площадь суммы всех прямоугольников равна единице: При увеличении числа наблюдений число интервалов можно увеличить. Сами интервалы уменьшаются, и гистограмма все больше приближается к плавной кривой, ограничивающей единичную площадь, — к графику плотности распределения результатов наблюдений. Критерий согласия Пирсона[1], или критерий согласия (Хи-квадрат) — наиболее часто употребляемый критерий для проверки гипотезы о принадлежности наблюдаемой выборки объёмом некоторому теоретическому закону распределения .
|