Задание. 1. Национальная экономика Беларуси: потенциалы

 

Периодические сигналы и их спектры.

Задание.

По данному периодическому сигналу S(t)=S(t+T):

Ø нарисовать в масштабе форму заданного сигнала;

Ø записать аналитическое выражение сигнала;

Ø вычислить частоту повторения импульсов;

Ø рассчитать комплексные коэффициенты ряда Фурье;

Ø построить в масштабе амплитудный и фазовый спектры сигнала для значений f ≥ 0 (не менее 10 гармоник);

Ø вычислить среднюю за период Т мощность сигнала в сопротивлении R=1 Ом;

Ø вычислить среднюю мощность первых четырех спектральных составляющих сигнала;

Ø нарисовать на одном графике в масштабе временные диаграммы первых трех спектральных составляющих.

Выполнение задания:

, мкс;

, мкс;

, В;

, В;

 

График заданного периодического сигнала изображен на рисунке 1.1

Рисунок 1.1.-График заданного периодического сигнала

 

 

Необходимо задать аналитическое выражение сигнала S(t):

 

Используем функцию Хэвисайда:

«Включая» и «выключая» функцию Хэвисайда в моменты времени получим:

 

, В – аналитическое выражение сигнала.

 

Циклическая частота повторений импульсов равна:

(Гц) = 6 (кГц)

 

Комплексные коэффициенты ряда Фурье:

 

Найдём коэффициенты на основе связи ряда Фурье с преобразованием Фурье и свойств преобразования Фурье.

Если , то , где - круговая частота повторения, .

,

где (t) – функция Дирака (дельта-функция):

 

 

Тогда коэффициенты равны:

Таким образом, сигнал s(t) представлен своим рядом Фурье:

 

 

Амплитудный и фазовый спектры сигнала для значений .

Используя формулу (1) построим Амплитудный и фазовый спектры сигнала s(t).

φк=Arg()

Найдем постоянную составляющую :

 

 

k	, кГц	, В	, град.
		1.30
		1.20
		0.80
		0.40
		0.00
		0.24
		0.27
		0.16
		0.00
		0.14
		0.16
		0.10
		0.10
		0.12
		0.07
		0.00

 

Графики амплитудного и фазового спектров изображены на рисунках 1.2,1.3 соответственно.

Рисунок 1.2.-Амплитудный спектр сигнала

 

Рисунок 1.3.-Фазовый спектр сигнала

 

Средняя за период мощность сигнала в сопротивлении R=1 Ом равна:

 

Пусть , тогда

= Вт.

Средняя мощность первых трех спектральных составляющих:

Используем формулу: .

Так как нам нужна средняя мощность первых трёх спектральных составляющих, то максимальное значение k=3.

Временные диаграммы первых трёх спектральных составляющих(постоянной составляющей, первой и второй гармоник).

 

Ряд Фурье в тригонометрической форме для сигнала s(t) имеет вид:

 

 

Так как нам нужны временные диаграммы первых трех спектральных составляющих, то максимальное значение k=2. Причем .

 

=

Временные диаграммы трех спектральных составляющих изображены на рисунке 1.4

 

 

Рисунок 1.4.-Временные диаграммы трех спектральных составляющих