Коды Рида-Маллера

Осуществим отличное от предыдущего преобразование порождающей матрицы ортогонального кода, которое заключается в добавлении еще одной ( –й) строки, состоящей из всех единиц. В результате подобной трансформации происходит удвоение числа кодовых слов, поскольку во вновь образуемый код будут входить не только слова исходного кода, но и их инверсии. Данная операция эквивалентна добавлению к ортогональному коду слова, состоящего из одних только единиц. Итогом применения данного алгоритма является построение кода, называемого кодом Рида-Маллера первого порядка, порождающая матрица которого связана с аналогичной матрицей ортогонального кода соотношением:

.

Код Рида-Маллера состоит из слов длины , каждое из которых содержит информационных символов. Минимальное расстояние и исправляющая способность нового кода не отличается от ортогонального кода той же длины, т.е. . Однако, благодаря большей скорости, код Рида–Маллера, как и симплексный код, оказывается оптимальным, т.е. удовлетворяющим границе Плоткина

.

Пример 6.8.3. Добавляя строку из всех единиц к порождающей матрице (8.3) ортогонального кода, полученную в примере 6.8.1, получаем порождающую матрицу (8,4) кода Рида-Маллера

,

состоящего из 16 слов и имеющего кодовое расстояние .

В отличие от высокоскоростных кодов Хэмминга, скорость которых асимптотически стремится к единице, рассмотренные в этом параграфе коды являются низкоскоростными, т.е. с увеличением длины их скорость имеет тенденцию к уменьшению, стремясь к нулю в асимптотическом случае. С другой стороны, коды Хэмминга обладают более чем скромной корректирующей способностью по сравнению с рассмотренными кодами. В таблице 6.5 представлены параметры первых пяти симплексных и Рида-Маллера кодов, служащих иллюстрацией ранее сделанным утверждениям.

Таблица 6.5.