Основные методы линеаризации статических характеристик объектов: Метод касательных, малых отклонений и усреднения

В общем случае уравнение динамики оказывается нелинейным, так как реальные звенья САУ обычно нелинейны. В целях упрощения теории нелинейные уравнения заменяют линейными, которые приблизительно описывают динамические процессы в САУ. Получаемая при этом точность уравнений оказывается достаточной для технических задач. Процесс преобразования нелинейных уравнений в линейные называется линеаризацией уравнений динамики.

Геометрические методы линеаризации:

1. Линеаризация уравнением касательной (метод малых приращений);

2. Линеаризация уравнением секущей (метод осреднения).

Рассмотрим сначала геометрическое обоснование линеаризации.

Рисунок 26

В нормально функционирующей САУ значение регулируемой и всех промежуточных величин незначительно отличается от требуемых. В пределах малых отклонений все нелинейные зависимости между величинами, входящими уравнение динамики, могут быть приближенно представлены отрезками прямых линий. Например, нелинейная статическая характеристика звена на участке АВ (рис.26) может быть представлена отрезком касательной в точке номинального режима А»В».

Т.е. на участке нелинейную статическую характеристику можно заменить прямой . Коэффициент , тогда коэффициент .

Начало координат переносится в точку О’, и в уравнениях записываются не абсолютные значения величин y, g, ν;, а их отклонения от номинальных значений: y = y – y_н, g = g – g_н, ν = ν – ν_н. Это позволяет получить нулевые начальные условия, если считать, что при t 0 система находилась в номинальном режиме в состоянии покоя.

Математическое обоснование линеаризации состоит в том, что если известно значение f(a) какой – либо функции f(x) в любой точке x = a, а также значения производных от этой функции в данной точке f’(a), f”(a), …, f⁽ⁿ⁾(a), то в любой другой достаточно близкой точке x + x значение функции можно определить, разложив ее в окрестности точки a в ряд Тейлора:

 

Аналогично можно разложить и функцию нескольких переменных. Для простоты возьмем упрощенный, но наиболее характерный вариант уравнения динамики САУ:

1. Пусть нелинейное динамическое уравнение звена имеет вид:

F(y,y',y",g,g') = φ(v,v').

2. Тогда уравнение установившегося состояния (в точке номинального режима), в силу равенства нулю всех производных, имеет вид:

F ⁰ (y ⁰, 0, 0, g ⁰, 0 ) = φ(v ⁰, 0 ).

3. Перейдем к уравнению динамики для отклонений, выполнив подстановки:

и разложив функцию F в ряд:

 

4. Завершая линеаризацию, вычтем из левой и правой части уравнение установившегося состояния:

 

 

5. Введя соответствующие обозначения получим:

a_o y” + a₁ y’ + a₂ y = b_o g’ + b₁ g + v ₁.

Отбрасывая все знаки , получим:

a_oy” + a₁y’ + a₂y = b_og’ + b₁g + v ₁.

В более общем случае:

a_oy⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) +... + a_{n - 1}y’ + a_ny = b_og^(m) +... + b_{m – 1}g’ + b_mg + v ₁.

При этом всегда нужно помнить, что в данном уравнении используются не абсолютные значения величин y, g, ν;их производных по времени, а отклонения этих величин от номинальных значений. Поэтому полученное уравнение будем называть уравнением в отклонениях.

Второй способ линеаризации. Из приведенной геометрической иллюстрации вытекает другой способ линеаризации. С самого начала все криволинейные зависимости, используемые при составлении уравнений звеньев, заменяются прямолинейными (по касательной в соответствующей точке кривой). Тогда уравнения звеньев сразу будут получатья линейми.