Теорема и доказательство на всякий пожарный, для ответа они НЕ нужны, как и пример, добавлены
Теорема и доказательство на всякий пожарный, для ответа они НЕ нужны, как и пример, добавлены
9. Какая система векторов линейного пространства называется базисом? Система n линейно независимых векторов e1,e2,…,en линейного пространства L называется базисом этого пространства, если всякий вектор а из этого пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов e1,e2,…,en, т.е. а=А1e1 + А2e2 +…+ Аnen, где А1, А2, …, Аn – коэффициенты линейной комбинации. Теорема Коэффициенты А1, А2, …, Аn определяются единственным образом. (доказывается от противного, приравниваем и почленно вычитаем) 10. Чем определяется размерность линейного пространства? Линейное пространство L, в котором существует базис из n векторов, называют n-мерным, а число n – размерностью пространства L. Иногда, чтобы указать размерность пространства пишут Ln.
Подпространство линейного пространства L – множество элементов из L, которое само является линейным пространством с теми же операциями сложения и умножения на число. 12. Какие примеры подпространств линейного пространства вы знаете?
Скалярное произведение двух векторов (элементов линейного пространства)
которая по известным длинам
Заметим, что если известны координаты векторов 14. Какое линейное пространство называется евклидовым? Определение 1. Вещественное линейное пространство 1. 2. 3. 4. Пример. В векторной алгебре для множества свободных векторов было определено скалярное произведение двух векторов, как произведение их длин на косинус угла между ними. Было доказано, что таким образом определенное скалярное произведение обладает всеми свойствами 1 – 4 определения евклидова пространства. 15. Какие примеры евклидовых пространств вы знаете? Пример 1. В векторной алгебре для множества свободных векторов было определено скалярное произведение двух векторов, как произведение их длин на косинус угла между ними. Было доказано, что таким образом определенное скалярное произведение обладает всеми свойствами 1–4 определения евклидова пространства. Пример 2. В линейном пространстве одностолбцовых матриц можно ввести скалярное произведение векторов по формуле: (a*b) = a1b1+a2b2+…+anbn.
На это определение можно смотреть как на обобщение формулы, выражающей скалярное произведение векторов в векторной алгебре, заданных своими координатами. Нетрудно проверить непосредственно, что все 1–4 условия выполнены.
Пример 3. В линейном пространстве C[a,b] непрерывных функций на [a,b] можно ввести скалярное произведение функций x(t), y(t) по формуле:
Выполнение условий 1-4 легко проверить, применяя основные правила интегрирования. Пространство C[a,b], с таким образом выделенным скалярным произведением обозначается через C2[a,b].
16. Как определяется длинна вектора в евклидовом пространстве?
Определение 1. Длиной (модулем) вектора
Всякий вектор евклидова пространства имеет длину. У нулевого вектора длина равна нулю, у всякого другого – положительна. Вектор называют нормированным, если его длина равна единице. Легко видеть, что если любой ненулевой вектор Рассмотрим примеры. Пример 1. Для множества свободных векторов введенное определение длины вектора совпадает с обычным понятием длины вектора. Пример 2. В линейном пространстве одностолбцовых матриц выражение для длины вектора
имеет вид
17. Какое неравенство имеет место для скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве?
Теорема. В евклидовом пространстве скалярное произведение произвольных векторов
Доказательство опять же не нужно, но пусть будет, ведь может случиться всякое =) Заметим, что неравенство называют неравенством Коши-Буняковского. Доказательство. Для доказательства неравенства (1) заметим, что в согласии с условием
где
Воспользовавшись теперь условием
Обратившись к условию
В левой части последнего неравенства стоит квадратный трехчлен относительно
Записав последнее неравенство в виде
и извлекая, квадратный корень из обеих частей неравенства, получим 18. Какое неравенство для произвольных векторов выполняется в евклидовом пространстве? Для произвольных векторов
называемое неравенством треугольника. Доказательство (как обычно не надо, но есть, это потому что автор- умница =^_^= ) Для доказательства справедливости (1) заметим, что квадрат длины вектора
Обращаясь последовательно к условию
Используя неравенство Коши-Буняковского, получим
Из сравнения (2) и (3) следует справедливость (1). Заметим, что если 19. Когда векторы линейного пространства ортогональны? Векторы
Если Рассмотрим примеры. Пример 1. В пространстве векторов, изученных ранее в курсе геометрии, скалярное произведение определено известным образом. Орты Пример 2. В евклидовом пространстве одностолбцовых матриц, в котором скалярное произведение определено равенством (3.3), векторы
ортогональны. 20. Какой базис евклидова пространства называется ортогональным? 21. Какой базис евклидова пространства называется ортонормированным? Ответ на оба вопроса сразу 2х КОМБО!=__= Определение 1. Базис
Если при этом все векторы базиса единичные, т. е.
то базис называется ортонормированным. 22. Во всяком ли евклидовом пространстве имеются ортонормированные базисы? Теорема. Во всяком
Опять ХЗ надо ли, скорей всего- нет, но как то это даже не прилично отвечать на вопрос 7 словами О___о
Доказательство. Доказательство проведем для случая
Используя условия
откуда получим (так как
Итак, если в качестве
где вещественные числа
Используя, как и выше, условия
откуда, учитывая ортогональность векторов
Итак, если в качестве Базис
образуют искомый ортонормированный базис. Для случая Примененный здесь способ получения ортонормированного базиса из произвольного базиса носит название процесса ортогонализации. Естественно, что каждый вектор
где
которые получатся, если умножить обе части равенства (5) на
23. Что называется оператором линейного пространства, действующим из одного непустого множества в другое непустое множество? Пусть заданы два различных непустых множества X и X′, элементы которых будем обозначать буквами соответственно x и x′. Правило (закон), по которому любому элементу x Если оператор обозначить буквой Å, то результат x′ его применения к элементу x записывают в виде x’ = Åx. Множество X называется областью определения оператора Å, элемент x′ при этом называется образом элемента x, а сам элемент x – прообразом элемента x′. Совокупность всех образов называется областью значений оператора Å. Если каждый элемент x′ Будем в дальнейшем под X и X′ понимать линейное пространство L. 24. Что называется областью определения оператора линейного пространства? 25. Что называется прообразом элемента? 26. Что называется областью значений оператора линейного пространства? 27. При каком условии оператор линейного пространства называется взаимно-однозначным?
|
и 
. В соответствии с определением справедлива следующая формула
, (1)
и 
векторов 
между ними позволяет найти их скалярное произведение. Из курса векторной алгебры известно, что если векторы 
и 
, то скалярное произведение может быть вычислено по формуле
. (2)
и 
, то, используя формулу (2), можно вычислить их скалярное произведение и квадрат длины (как скалярное произведение на самого себя.) Зная же скалярное произведение векторов и длины каждого из них, мы сможем с помощью формулы (1) найти угол между векторами.
называют евклидовым, если в нем определена операция, ставящая в соответствие любым двум векторам 
;
, для любого вектора 
;
, для любого числа 
;
, если 
.
, 
, так что
(3.4)
, то вектор 
,имеет длину, равную единице. Эту операцию получения нормированного вектора называют нормированием.
.
(1)
(2)
. Так как этот трехчлен неотрицателен при любом 
, (1)
равен скалярному произведению вектора 
(2)
в определении евклидова пространства два раза, а затем к условию 
, можем написать
(3)
(3.11)
. Нулевой вектор, по определению, считается ортогональным любому вектору.
попарно взаимно ортогональны.
и 
евклидова пространства 
называется ортогональным, если векторы базиса попарно ортогональны, т. е.
при 
.
‑ мерном евклидовом пространстве 
. Пусть 
‑ произвольный базис пространства 
, где 
– некоторое вещественное число, которое мы подберем так, чтобы векторы 
и 
были ортогональны, то есть
определения евклидова пространства, получим
(2)
и 
линейно независимы, то из формулы, определяющей вектор 
определим с помощью равенства
, (3)
и 
определим так, чтобы вектор 
), получим выражение для 
. (4)
линейно независимы, то вектор 
– ортогональный. Но для того чтобы сделать его ортонормированным, следует каждый из векторов 
этот процесс следует продолжать до тех пор, пока не найдем последний вектор.
. (5)
– некоторый ортонормированный базис, 
– координаты вектора в этом базисе. Отметим, что для координат 
.
X ставится в соответствие единственный элемент x′ 
