От ВЧХ системы
Графики на рис. 5.5 соответствуют ВЧХ, аппроксимируемой двумя трапециями (рис. 5.6). В этом случае ВЧХ определяют тремя параметрами: - основным коэффициентом наклона - коэффициентом формы - дополнительным коэффициентом наклона Характеристика P(ω) на рис. 5.6 имеет
Рис. 5.6. ВЧХ, аппроксимированная двумя трапециями Эти зависимости используют не только для оценки показателей качества переходной характеристики при указанной форме ВЧХ, но и для синтеза корректирующих устройств. 32. Оценка точности САУ в типовых режимах. а) g(t)=const; б)g(t) =g0*t; в) =gm*sin(wpt).[+ ДОПОЛНИТЕЛЬНО ВОПРОС 34 ] Теорема о предельном значении оригинала. Одним из основных требований, предъявляемых к САУ является точность воспроизведения задающего воздействия, которая определяется формой установившегося процесса управления (увын.(t)). При этом установившаяся ошибка системы будет
а полное значение ошибки, существенное для начала процесса, равно
Установившееся значение ошибки в САУ можно определить воспользовавшись теоремой о предельном значении оригинала из операционного исчисления. Если функции
Обычно точность САУ определяют для типовых режимов работы. Простейшими из них являются режимы: - при постоянной величине внешнего воздействия; - при изменении внешнего воздействия с постоянной скоростью; - при гармоническом воздействии.
A. Найдем значение установившейся ошибки в замкнутой САУ при постоянной величине внешнего задающего воздействия g(t) = const = g0. Пусть передаточная функция разомкнутой цепи – W(S). Тогда передаточная функция замкнутой системы для ошибки будет равна
Согласно теореме о предельном значении оригинала (5.8), выражение установившейся ошибки принимает вид
При
Это значение ошибки называется статической ошибкой.
B. Пусть задающее воздействие изменяется с постоянной скоростью
По формулам (5.8) и (5.9), с учетом того, что в этом случае
Чтобы ликвидировать нарастание ошибки в этом случае, передаточная функция разомкнутой цепи САУ – W(S) должна иметь нулевой полюс. Тогда, как следует из формулы (5.13), получим Например. Пусть Тогда из (5.13) получим
Если в этом примере задающее воздействие постоянное, то установившаяся ошибка в САУ будет равна нулю
Итак, система, имеющая нулевой полюс в передаточной функции разомкнутой цепи W(S), не будет иметь статической ошибки и даст постоянное значение скоростной ошибки. Такая система называется астатической системой. В передаточной функции разомкнутой цепи W(S) необходимо присутствие интегрирующего звена. Следящие системы и системы программного управления должны проектироваться как астатические. Системы, настраиваемые на поддержание постоянного значения регулируемой величины, могут иметь и статические ошибки. В следящей системе интегрирующим звеном, создающим астатизм, является исполнительный двигатель. Угол поворота вала (или линейное перемещение) будет пропорционален интегралу от входного управляющего сигнала (напряжения). Как видно из формул ошибок (5.11) и (5.13), для уменьшения величины ошибки надо увеличивать общий коэффициент усиления К разомкнутой цепи системы. Поэтому величина К именуется добротностью системы. Можно строить САУ также с астатизмом второго и более высокого порядка и не только по отношению к задающему воздействию, но и по отношению к возмущающему воздействию. Условие астатизма при этом будет другим и будет определяться из условия.
C. Точность при гармоническом воздействии. Установившаяся ошибка в этом случае определяется частотными характеристиками замкнутой системы, рассмотренными ранее. Пусть входное воздействие изменяется по закону
В линеаризованной системе в установившемся режиме ошибка будет меняться также по гармоническому закону
Точность САУ в этом режиме можно определить по амплитуде ошибки, воспользовавшись определением АЧХ замкнутой САУ по ошибке
Обычно система управления проектируется таким образом, чтобы Следовательно, должно выполняться условие Тогда выражение (5.17) можно заменить приближенным
Эта формула позволяет вычислить амплитуду ошибки в установившемся режиме, а также решить задачу синтеза САУ, обеспечивающую заданную точность в установившемся режиме. Например, при построении желаемой ЛАЧХ на частоте управляющего воздействия (рабочей частоте - Часто при проектировании и испытании систем управления пользуются синусоидальным задающим сигналом и в том случае, когда требования к системе поставлены по максимальной скорости и максимальному ускорению входного воздействия. В этом случае можно определить эквивалентный синусоидальный сигнал. Если
Следовательно,
Отсюда вычисляются частота
Эти значения используются для нанесения координат контрольной точки на поле построения желаемой ЛАЧХ разомкнутого контура системы управления. 33. Показатели качества h(t) (σ%). Приближённая оценка качества САУ по вещественной частотной характеристике P(ω). [ ВОПРОСЫ 30 и 31 ] Показатель колебательности М.
Частотной оценкой качества является показатель колебательности Mmax – максимальное значение ординаты амплитудной характеристики замкнутой системы (рис. 5.10) M=|Ф(jω)|. (5.6) Величина Mmax может быть определена по виду АФЧХ разомкнутой цепи данной системы. Покажем это:
Отсюда или Следовательно, линии равных значений величины M, нанесенные на плоскость W(jω), будут окружностями со смещающимся центром С и меняющимся радиусом R, как показано на рис. 5.7. При М=1 окружность вырождается в прямую (
Рис. 5.7. При 0<M<1 окружности располагаются справа от линии, соответствующей M=1, а при М>1 – слева от нее. Если Если, например, желательно иметь Мmax<1,5, то АФЧХ - W(jω) нужно скорректировать так, чтобы она не заходила внутрь круга М=1,5 (рис. 5.7). Такую запретную область можно перенести на плоскость ЛФЧХ и ЛАЧХ следующим образом. На кривой М=1,5 в каждой точке имеем определенное значение амплитуды А(ω;) и фазы φ(ω). Зная 20lgA(ω) (рис. 5.9), для каждого значения можно нанести соответствующую точку φ(ω). На поле логарифмических характеристик образуется кривая М=1,5, очерчивающая запретную область, в которую не должна заходить фазовая частотная характеристика φ(ω). Существуют графики
Удобство показателя колебательности определяется тем, что запас устойчивости характеризуется одним числом, имеющим для сравнительно широкого класса систем регулирования сравнительно узкие пределы (M=1,1÷1,5). Для оценки быстродействия по АЧХ замкнутой системы используются следующие величины (рис. 5.10):
Рис. 5.10. Зависимость показателя колебательности от частоты - ωрез – резонансная частота, соответствующая Мmax; - ω0 – частота, соответствующая полосе пропускания замкнутой системы и определяемая из условия А3(ω0)=0,707. - ωср – частота среза, соответствующая условию А3(ωср)=1; при определении быстродействия по ЧПФ - W(jω) разомкнутой системы может использоваться частота среза ωср, определяемая по ЛАЧХ, когда 20lgA(ω)=0; частота среза ωср во многих случаях близка к резонансной частоте системы ωр; - ωэкв – эквивалентная полоса пропускания замкнутой системы, определяемая по выражению
Эквивалентная полоса пропускания представляет собой основание прямоугольника (рис. 5.10), высота которого равна единице, а площадь равна площади под кривой квадратов модуля Ф(jω). Понятие эквивалентной полосы пропускания тесно связано с вопросом пропускания системой помех. 34. Коэффициенты ошибок. [+ ДОПОЛНИТЕЛЬНО ВОПРОС 32 ]
D. Установившаяся ошибка при произвольном воздействии (коэффициенты ошибок). В общем случае изображение ошибки
Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд по возрастающим степеням комплексной величины S (ряд Тейлора). Функция
Коэффициенты С0, С1, С2, … называют коэффициентами ошибок. Они определяются по общему правилу разложения функции в ряд Тейлора:
Поскольку функция Перейдем в формуле (5.21) к оригиналам, получим формулу для установившейся ошибки
Коэффициенты С0 соответствует статической, а С1 – скоростной ошибкам. Следует отметить, что увеличение коэффициента усиления К разомкнутой цепи влечет за собой уменьшение всех видов установившихся ошибок замкнутой САУ. Вычисление установившихся ошибок по приведенным формулам имеет практический смысл при достаточно медленном изменении внешнего воздействия. Иначе эта ошибка не будет реальной из-за наличия значительной переходной составляющей процесса.
|
;
;
.
, 
, 
, (5.7)
.
и 
- оригиналы и E(S) – изображение функции 
. (5.8)
. (5.9)
. (5.10)
и 
, где M(S) и Q(S) не содержат множителя S, с учетом (5.8) получим
. (5.11)
. (5.12)
, найдем
. (5.13)
. Это постоянное значение ошибки называется скоростной ошибкой.
(один нулевой полюс).
.
.
. (5.14)
. (5.15)
. (5.16)
. (5.17)
была много меньше амплитуды входного сигнала 
.
на рабочей частоте 
.
. (5.18)
. Желаемая ЛАЧХ должна пройти через эту точку (или чуть выше).
, то скорость и ускорение будут
.
.
. (5.19)
.
, где 
, 
.
), параллельную мнимой оси и проходящую через точку (-0,5;j0).
.
, то окружность вырождается в точку с координатами (-1;j0). Номограммы можно использовать для построения АЧХ замкнутой системы А3(ω). Для этого на номограмму наносят АФЧХ разомкнутой системы W(jω), далее по точкам пересечения последней с окружностями определяют значение А3(ω). Максимальное значение показателя колебательности Мmax определяется по наименьшей окружности, которой коснется АФЧХ. Значение M=const, соответствующее этой окружности, и будет показателем колебательности Мmax.
для различных значений показателя колебательности M=const [ 1 ].
Рис.5.8
Рис.5.9
Рис.
выражается формулой
. (5.20)
, как правило, дробно-рациональная.
. (5.21)
. (5.22)
. (5.23)
