О Т Ч Е Т. Цель работы.По данным таблицы 1.1 оценить на уровне α = 0.05 значимость уравнения регрессии ŷ(x) = 1,034х-0,196

О Т Ч Е Т

 

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1

 

ДИСЦИПЛИНА:	"Стандартизация и сертификация ТКС"
ТЕМА:	"Исследование особенностей воспроизведения математическойфункции представленной разложением в ряд Тейлора"

 

Выполнил: студент гр. ЭВМ. Б-71	Зюзин И.Н.
Проверил:	Максимов А.В.

 

Дата сдачи (защиты) лабораторной работы:	_________
Результаты сдачи (защиты): Количество рейтинговых баллов	_________
Оценка

 

 

Калуга, 2014 г.

Цель работы: приобрести практические навыки исследования поведения функции, представленной разложением в ряд Тейлора.

Необходимое оборудование и программное обеспечение: для выполнения лабораторной работы необходима ПЭВМ на базе микропроцессора с системой команд ix86, среда программирования любого языка высокого уровня или пакеты математических инструментальных сред, табличный процессор Excel.

Задание

Таблица 1

№ вар.	Функция	Диапазон изменения аргумента	Шаг аргумента
		[0;4]	0,0625

Решение

Получим с помощью Excel значения заданной функции (таблица 2) и построим ее график (рисунок 1). Эти значения функции и ее график примем как эталонные.

Таблица 2

Х		Х		Х
		1,375	1,172604	2,75	1,658312
0,0625	0,25	1,4375	1,198958	2,8125	1,677051
0,125	0,353553	1,5	1,224745	2,875	1,695582
0,1875	0,433013	1,5625	1,25	2,9375	1,713914
0,25	0,5	1,625	1,274755		1,732051
0,3125	0,559017	1,6875	1,299038	3,0625	1,75
0,375	0,612372	1,75	1,322876	3,125	1,767767
0,4375	0,661438	1,8125	1,346291	3,1875	1,785357
0,5	0,707107	1,875	1,369306	3,25	1,802776
0,5625	0,75	1,9375	1,391941	3,3125	1,820027
0,625	0,790569		1,414214	3,375	1,837117
0,6875	0,829156	2,0625	1,436141	3,4375	1,85405
0,75	0,866025	2,125	1,457738	3,5	1,870829
0,8125	0,901388	2,1875	1,47902	3,5625	1,887459
0,875	0,935414	2,25	1,5	3,625	1,903943
0,9375	0,968246	2,3125	1,520691	3,6875	1,920286
		2,375	1,541104	3,75	1,936492
1,0625	1,030776	2,4375	1,561249	3,8125	1,952562
1,125	1,06066	2,5	1,581139	3,875	1,968502
1,1875	1,089725	2,5625	1,600781	3,9375	1,984313
1,25	1,118034	2,625	1,620185
1,3125	1,145644	2,6875	1,63936

Рис. 1. График эталонной функции

Разложение заданной функции в ряд Тейлора в общем виде записывается следующим выражением:

(1)

Здесь а - точка разложения. Выберем точки разложения:

Подставим значение точек разложения в выражение (1) и произведя необходимые действия, получим искомые разложения:

для

(2)

для

(3)

Разложения функции в ряды Тейлора с четырьмя и тремя ненулевыми членами можно получить из (2) и (3) путем отбрасывания последних одного или двух членов соответственно.

Разложение с тремя ненулевыми членами для :

(4)

для :

(5)

 

Разложение с четырьмя ненулевыми членами для :

(6)

для :

(7)

Выражения (2), …, (7) являются рабочими. Для обеспечения максимальной точности квадратный корень из двойки также предоставим вычислять математическому пакету.

Результаты расчетов отражают следующие графики для для и пяти членах ряд Маклорена (Тейлора):

график разложения – рисунок 2.1, график ошибки – рисунок 2.2.

 

Рис. 2.1. График разложения y = , 5 членов ряда,

Рис. 2.2. Ошибка разложения, 5 членов ряда,

Таблица 3.

5 членов для а1=2	ошибка	5 членов для а1=2	ошибка	5 членов для а1=2	ошибка
0,386699021	-0,386699	1,17275511	-0,0001512	1,676722121	0,00032886
0,434290515	-0,1842905	1,199044407	-8,653E-05	1,695114384	0,00046811
0,480427374	-0,126874	1,224791464	-4,659E-05	1,713263944	0,00064971
0,525164347	-0,0921516	1,250023212	-2,321E-05	1,731168653	0,00088215
0,568554917	-0,0685549	1,274765319	-1,044E-05	1,748825095	0,0011749
0,610651305	-0,0516343	1,299042189	-4,083E-06	1,766228593	0,00153836
0,651504467	-0,039132	1,322876958	-1,303E-06	1,783373204	0,0019839
0,691164093	-0,0297263	1,346291503	-3,013E-07	1,800251721	0,00252392
0,72967861	-0,0225718	1,369306432	-3,87E-08	1,816855672	0,0031718
0,767095181	-0,0170952	1,391941092	-1,18E-09	1,833175322	0,00394199
0,803459703	-0,0128903	1,414213562		1,849199669	0,00484995
0,83881681	-0,0096606	1,436140661	1,1261E-09	1,86491645	0,00591224
0,873209871	-0,0071845	1,457737938	3,5231E-08	1,880312136	0,00714647
0,906680991	-0,0052932	1,479019684	2,617E-07	1,895371932	0,00857134
0,93927101	-0,0038567	1,499998921	1,0793E-06	1,91007978	0,01020666
0,971019504	-0,0027737	1,520687407	3,2254E-06	1,92441836	0,01207331
1,001964785	-0,0019648	1,541095638	7,8625E-06	1,938369082	0,01419334
1,032143899	-0,0013675	1,561232844	1,6656E-05	1,951912097	0,01658987
1,061592629	-0,0009325	1,58110699	3,184E-05	1,96502629	0,01928719
1,090345493	-0,0006208	1,600724778	5,6281E-05	1,977689279	0,02231072
1,118435746	-0,0004018	1,620091645	9,353E-05	1,676722121	0,00032886
1,145895377	-0,0002515	1,639211763	0,00014787	1,695114384	0,00046811

 

Результаты расчетов по рабочей формуле (3) с пятью ненулевыми членами для приведены на следующих рисунках:

график рабочей реализации – рисунок 3.1;график ошибки – рисунок 3.2;

Рис. 3.1. График разложения y = , 5 членов ряда,

Рис. 3.2. Ошибка разложения, 5 членов ряда,

Таблица 4

5 членов для а2=4	ошибка	5 членов для а2=4	ошибка	5 членов для а2=4	ошибка
0,546875	-0,54688	1,186266109	-0,01366	1,658526182	-0,00021
0,580789323	-0,33079	1,210752334	-0,01179	1,677213828	-0,00016
0,614179537	-0,26063	1,234905243	-0,01016	1,695704862	-0,00012
0,647055487	-0,21404	1,258732225	-0,00873	1,714004214	-9,1E-05
0,679426908	-0,17943	1,282240555	-0,00749	1,732116699	-6,6E-05
0,711303423	-0,15229	1,305437396	-0,0064	1,750047023	-4,7E-05
0,742694542	-0,13032	1,328329802	-0,00545	1,76779978	-3,3E-05
0,773609663	-0,11217	1,350924711	-0,00463	1,78537945	-2,2E-05
0,804058075	-0,09695	1,373228952	-0,00392	1,802790403	-1,5E-05
0,834048952	-0,08405	1,395249243	-0,00331	1,820036898	-9,4E-06
0,863591358	-0,07302	1,416992188	-0,00278	1,837123081	-5,8E-06
0,892694245	-0,06354	1,438464279	-0,00232	1,854052986	-3,4E-06
0,921366453	-0,05534	1,4596719	-0,00193	1,870830536	-1,8E-06
0,949616711	-0,04823	1,480621318	-0,0016	1,887459542	-9,3E-07
0,977453634	-0,04204	1,501318693	-0,00132	1,903943703	-4,3E-07
1,004885728	-0,03664	1,52177007	-0,00108	1,920286606	-1,7E-07
1,031921387	-0,03192	1,541981384	-0,00088	1,936491728	-5,5E-08
1,05856889	-0,02779	1,561958457	-0,00071	1,952562432	-1,3E-08
1,084836408	-0,02418	1,581707001	-0,00057	1,96850197	-1,7E-09
1,110731999	-0,02101	1,601232613	-0,00045	1,984313483	-5,2E-11
1,136263609	-0,01823	1,620540783	-0,00036
1,161439071	-0,0158	1,639636884	-0,00028

 

Результаты расчетов по рабочей формуле (4) с тремя ненулевыми членами для приведены на следующих рисунках:

график рабочей реализации – рисунок 4.1;график ошибки – рисунок 4.2;

Рис. 4.1. График разложения y = , 3 члена ряда,

Рис. 4.2. Ошибка разложения, 3 члена ряда,

Таблица 5

3 члена для а1=2	ошибка	3 члена для а1=2	ошибка	3 члена для а1=2	ошибка
0,530330086	-0,53033009	1,175979344	-0,0033754	1,654519383	0,003793013
0,563303083	-0,31330308	1,201356467	-0,00239859	1,672300632	0,004750351
0,595930813	-0,24237742	1,226388324	-0,00164345	1,689736615	0,005845881
0,628213276	-0,19520057	1,251074913	-0,00107491	1,70682733	0,00708632
0,660150471	-0,16015047	1,275416235	-0,00066136	1,723572779	0,008478028
0,6917424	-0,13272541	1,299412291	-0,00037418	1,739972961	0,010027039
0,722989062	-0,11061663	1,323063079	-0,00018742	1,756027876	0,011739077
0,753890457	-0,09245263	1,3463686	-7,7398E-05	1,771737523	0,013619584
0,784446585	-0,0773398	1,369328855	-2,2461E-05	1,787101904	0,015673734
0,814657446	-0,06465745	1,391943842	-2,7513E-06	1,802121018	0,017906455
0,84452304	-0,05395363	1,414213562		1,816794865	0,020322443
0,874043367	-0,04488717	1,436138016	2,64584E-06	1,831123444	0,022926177
0,903218428	-0,03719302	1,457717202	2,07715E-05	1,845106757	0,025721936
0,932048221	-0,0306604	1,478951122	6,88241E-05	1,858744803	0,028713806
0,960532747	-0,0251184	1,499839774	0,000160226	1,872037582	0,031905695
0,988672006	-0,02042617	1,52038316	0,000307473	1,884985094	0,035301343
1,016465998	-0,016466	1,540581278	0,000522223	1,897587339	0,038904335
1,043914723	-0,01313832	1,56043413	0,00081537	1,909844316	0,042718103
1,071018181	-0,01035801	1,579941714	0,001197116	1,921756027	0,046745941
1,097776372	-0,00805164	1,599104032	0,001677028	1,933322471	0,050991012
1,124189297	-0,00615531	1,617921082	0,002264092	1,944543648	0,055456352
1,150256954	-0,00461303	1,636392866	0,002966765

 

Результаты расчетов по рабочей формуле (5) с тремя ненулевыми членами для приведены на следующих рисунках:

график рабочей реализации – рисунок 5.1;график ошибки – рисунок 5.2;

Рис. 5.1. График разложения y = , 3 члена ряда,

Рис. 5.2. Ошибка разложения, 3 члена ряда,

Таблица 6

3 члена для а2=4	ошибка	3 члена для а2=4	ошибка	3 члена для а2=4	ошибка
0,75	-0,75	1,236083984	-0,06348	1,663085938	-0,00477
0,773376465	-0,52338	1,256774902	-0,05782	1,681091309	-0,00404
0,796630859	-0,44308	1,27734375	-0,0526	1,698974609	-0,00339
0,819763184	-0,38675	1,297790527	-0,04779	1,71673584	-0,00282
0,842773438	-0,34277	1,318115234	-0,04336	1,734375	-0,00232
0,865661621	-0,30664	1,338317871	-0,03928	1,75189209	-0,00189
0,888427734	-0,27606	1,358398438	-0,03552	1,769287109	-0,00152
0,911071777	-0,24963	1,378356934	-0,03207	1,786560059	-0,0012
0,93359375	-0,22649	1,398193359	-0,02889	1,803710938	-0,00094
0,955993652	-0,20599	1,417907715	-0,02597	1,820739746	-0,00071
0,978271484	-0,1877	1,4375	-0,02329	1,837646484	-0,00053
1,000427246	-0,17127	1,456970215	-0,02083	1,854431152	-0,00038
1,022460938	-0,15644	1,476318359	-0,01858	1,87109375	-0,00027
1,044372559	-0,14298	1,495544434	-0,01652	1,887634277	-0,00018
1,066162109	-0,13075	1,514648438	-0,01465	1,904052734	-0,00011
1,08782959	-0,11958	1,533630371	-0,01294	1,920349121	-6,3E-05
1,109375	-0,10938	1,552490234	-0,01139	1,936523438	-3,2E-05
1,13079834	-0,10002	1,571228027	-0,00998	1,952575684	-1,3E-05
1,152099609	-0,09144	1,58984375	-0,0087	1,968505859	-3,9E-06
1,173278809	-0,08355	1,608337402	-0,00756	1,984313965	-4,8E-07
1,194335938	-0,0763	1,626708984	-0,00652
1,215270996	-0,06963	1,644958496	-0,0056

 

Результаты расчетов по рабочей формуле (6) с четырьмя ненулевыми членами для приведены на следующих рисунках:

график рабочей реализации – рисунок 6.1;график ошибки – рисунок 6.2;

Рис. 6.1. График разложения y = , 4 члена ряда,

Рис. 6.2. Ошибка разложения, 4 члена ряда,

Таблица 7

4 члена для а1=2	ошибка	4 члена для а1=2	ошибка	4 члена для а1=2	ошибка
0,441941738	-0,441941738	1,173281946	-0,000678006	1,659180487	-0,000868092
0,48294489	-0,23294489	1,199390064	-0,000432183	1,678226816	-0,001175833
0,523101058	-0,169547668	1,225007256	-0,000262384	1,697138276	-0,00155578
0,562426428	-0,129413726	1,250149705	-0,000149705	1,71593105	-0,0020174
0,600937184	-0,100937184	1,274833597	-7,87188E-05	1,734621323	-0,002570515
0,63864951	-0,079632515	1,299075116	-3,70101E-05	1,753225279	-0,003225279
0,67557959	-0,063207154	1,322890445	-1,47898E-05	1,771759102	-0,003992149
0,711743609	-0,050305781	1,34629577	-4,56868E-06	1,790238978	-0,004881871
0,747157751	-0,04005097	1,369307275	-8,81634E-07	1,80868109	-0,005905453
0,781838201	-0,031838201	1,391941145	-5,38637E-08	1,827101623	-0,007074151
0,815801143	-0,025231728	1,414213562		1,845516762	-0,008399455
0,849062762	-0,019906564	1,436140713	-5,15575E-08	1,86394269	-0,009893068
0,881639241	-0,015613837	1,457738781	-8,07706E-07	1,882395591	-0,011566898
0,913546766	-0,012158947	1,479023951	-4,00567E-06	1,900891651	-0,013433043
0,94480152	-0,009387173	1,500012408	-1,24076E-05	1,919447054	-0,015503778
0,975419688	-0,007173851	1,520720334	-2,97019E-05	1,938077985	-0,017791548
1,005417454	-0,005417454	1,541163916	-6,04154E-05	1,956800626	-0,020308953
1,034811004	-0,004034597	1,561359337	-0,000109838	1,975631164	-0,023068745
1,06361652	-0,002956349	1,581322782	-0,000183952	1,994585782	-0,026083813
1,091850188	-0,002125452	1,601070435	-0,000289376	2,013680664	-0,029367181
1,119528192	-0,001494204	1,620618481	-0,000433306	2,032931996	-0,032931996
1,146666717	-0,001022793	1,639983103	-0,000623472

 

Результаты расчетов по рабочей формуле (7) с четырьмя ненулевыми членами для приведены на следующих рисунках:

график рабочей реализации – рисунок 7.1;график ошибки – рисунок 7.2

Рис. 7.1. График разложения y = , 4 члена ряда,

Рис. 7.2. Ошибка разложения, 4 члена ряда,

Таблица 8

4 члена для а2=4	ошибка	4 члена для а2=4	ошибка	4 члена для а2=4	ошибка
0,625	-0,625	1,200756073	-0,02815	1,65927124	-0,00096
0,654144764	-0,40414	1,223910809	-0,02495	1,677820683	-0,00077
0,682987213	-0,32943	1,246826172	-0,02208	1,696193695	-0,00061
0,711530209	-0,27852	1,269505024	-0,01951	1,714393139	-0,00048
0,739776611	-0,23978	1,291950226	-0,0172	1,732421875	-0,00037
0,767729282	-0,20871	1,314164639	-0,01513	1,750282764	-0,00028
0,795391083	-0,18302	1,336151123	-0,01328	1,767978668	-0,00021
0,822764874	-0,16133	1,35791254	-0,01162	1,785512447	-0,00016
0,849853516	-0,14275	1,379451752	-0,01015	1,802886963	-0,00011
0,87665987	-0,12666	1,400771618	-0,00883	1,820105076	-7,8E-05
0,903186798	-0,11262	1,421875	-0,00766	1,837169647	-5,2E-05
0,92943716	-0,10028	1,442764759	-0,00662	1,854083538	-3,4E-05
0,955413818	-0,08939	1,463443756	-0,00571	1,870849609	-2,1E-05
0,981119633	-0,07973	1,483914852	-0,00489	1,887470722	-1,2E-05
1,006557465	-0,07114	1,504180908	-0,00418	1,903949738	-6,5E-06
1,031730175	-0,06348	1,524244785	-0,00355	1,920289516	-3,1E-06
1,056640625	-0,05664	1,544109344	-0,00301	1,93649292	-1,2E-06
1,081291676	-0,05052	1,563777447	-0,00253	1,952562809	-3,9E-07
1,105686188	-0,04503	1,583251953	-0,00211	1,968502045	-7,6E-08
1,129827023	-0,0401	1,602535725	-0,00175	1,984313488	-4,7E-09
1,153717041	-0,03568	1,621631622	-0,00145
1,177359104	-0,03172	1,640542507	-0,00118

 

В таблице 9 приведены статистические числовые характеристики ошибки разложения функцииy = в ряд Тейлора в точке разложения для трёх, четырёх и пяти членов ряда.

 

	Число рядов Маклорена
Наиб.абсол. погр.	0,38669902	0,441941738	0,530330086
Наиб.привед. абсол. погр.	38,6699021	44,19417382	53,03300859
Мат. ожидание погр.	-0,0142748	-0,026020976	1,353446573
Дисперсия погрешности	0,00324399	0,004423781	0,008320974

 

Анализируя тенденцию повышения точности вычисления функции y = с увеличением числа членов ряда Тейлора, можно предположить, что в полном объеме, то есть в диапазоне изменения аргумента [0; 4], поставленная задача будет решаться при увеличении числа ряда.