Примеры решения типовых задач. 1.Является ли заданное отображение на своей естественной области определения непрерывным в точке ?

1. Является ли заданное отображение на своей естественной области определения непрерывным в точке ?

 

Пример 1. , ,, .

Решение. Очевидно, что заданное отображение определено на всем . Представим его в виде , где , , и покажем, что и непрерывны в любой точке . Пусть последовательность сходится к в . Тогда

.

Отсюда следует, что непрерывно.

Докажем непрерывность . Будучи непрерывной, функция ограничена на , т. е. . А так как равномерно на , то начиная с некоторого номера (почему?). Тогда

.

Отсюда следует, что в . Поэтому в силу произвольности отображение непрерывно в любой точке из .

 

Пример 2. .

 

Решение. Пусть последовательность сходится к в . Тогда

при .

Теперь в силу неравенства Коши-Буняковского,

.

(полученная оценка показывает также, что принадлежит при из ; поэтому отображение определено на всем ). Значит, – непрерывное отображение в точке .

 

Пример 3. .

Решение. Покажем, что отображение не является непрерывным. Возьмём последовательность , которая стремится к нулюв , поскольку

при .

Рассмотрим теперь выражение

.

Следовательно, последовательность нестремится к нулю при ,а потому нестремится к в .

Пример 4. .

Решение. Покажем, что отображение не является непрерывным. Заметим, что

.

Возьмем последовательность , которая сходится к нулю в , поскольку

при .

Имеем

при ,

а потому нестремится к в .

2. Является ли заданное отображение : а) непрерывным;

б) равномерно непрерывным; в) удовлетворяющим условию Липшица?

Пример 1. .

Решение. а) Пусть . Отображение является непрерывным, так как

(мы воспользовались неравенством ).

б) Покажем, что не является равномерно непрерывным. Возьмём . Тогда при , но

,

а значит, не стремится к нулю при . Это противоречит определению равномерной непрерывности (проверьте).

в) Так как не является равномерно непрерывным, то оно не удовлетворяет условию Липшица (почему?).

 

Пример 2. .

Решение. Покажем, что удовлетворяет условию Липшица с константой . Заметим, что

.

Рассмотрим функцию . Тогда

.

Следовательно, по теореме Лагранжа

 

,

а значит,

.

Так как удовлетворяет условию Липшица, то оно равномерно непрерывно, а потому и непрерывно.

Пример 3. .

Решение. Покажем, что удовлетворяет условию Липшица. Действительно,

Так как , то по теореме Лагранжа

.

Поэтому при любых x, y справедливо неравенство

.

Так как удовлетворяет условию Липшица, то оно является равномерно непрерывным.

 

Пример 4. .

 

Решение. а) Покажем, что непрерывно. Действительно, если в , то числоваяпоследовательность сходится к (почему?). Тогда

при .

б) Покажем, что не является равномерно непрерывным. Пусть последовательности и заданы следующим образом:

, , , .

Тогда

при ,

но

при .

в) Так как не является равномерно непрерывным, то оно не удовлетворяет и условию Липшица.

 

Пример 5. .

Решение. а) Покажем, что не удовлетворяет условию Липшица. Допустим противное, то есть что

.

Возьмем . Так как

(1)

то , то есть , . Противоречие.

б) Покажем, что является равномерно непрерывным. Заметим, что функция является равномерно непрерывной на . Действительно, она равномерно непрерывна на по теореме Кантора и равномерно непрерывна на по теореме Лагранжа, так как при . Равномерная непрерывность функции означает, что

.

Теперь, если , то . Поэтому в силу равенства (1)

.