Компактные множества в метрических пространствах

Определение. Подмножество К метрического пространства Х называется компактным (компактом), если из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное покрытие.

Определение. Подмножество метрического пространства Х называется предкомпактным (в другой терминологии относительно компактным), если оно содержится в компактном подмножестве пространства Х (это равносильно тому, что его замыкание компактно).

Теорема. Подмножество компактно в Х тогда и только тогда, когда оно предкомпактно и замкнуто.

Теорема (свойство Больцано-Вейерштрасса). Подмножество К метрического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности его точек можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к точке из К.

Теорема. Подмножество К метрического пространства предкомпактно (компактно) тогда и только тогда, когда оно ограничено (соответственно ограничено и замкнуто).

Определение. Подмножество К метрического пространства C [ a, b ] называется равномерно ограниченным, если существует такая константа С, что .

Определение. Подмножество К метрического пространства C [ a, b ] называется равностепенно непрерывным, если

.

Теорема Арцела-Асколи. Подмножество К пространства C [ a, b ] предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Теорема. Подмножество К пространства предкомпактно тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) ;

2) .

 

 

2.5.1. Является ли данное множество М а) компактым, б) пред-компактным в пространстве (таблица 2.5.1)?

Таблица 2.5.1

 

Вариант	М

 

2.5.2. Выяснить, является ли множество М предкомпактным, компактным в (таблица 2.5.2).

 

Таблица 2.5.2

 

Вариант	М	Вариант	М

2.5.3. Определить, является ли данное множество М предком-пактным в пространстве (таблица 2.5.3).

 

Таблица 2.5.3

 

Вариант	р	М