Примеры решения типовых задач. 1.Доказать, что данная функция задает скалярное произведение в ( − линейное пространство над полем

1. Доказать, что данная функция задает скалярное произведение в ( − линейное пространство над полем ).

 

Пример 1. ,

.

Решение. Далее положим для краткости .Функция определена для любых в силу неравенства

.

Остальные аксиомы скалярного произведения легко проверяются. Проверим, например, вторую аксиому:

.

Следовательно, данная функция задает скалярное произведение в пространстве .

2. В гильбертовом пространстве найти проекцию вектора на заданное подпространство .

Пример 1.

,

.

Решение. По определению проекции требуется найти такой вектор , что , то есть

.

Ясно, что это условие может выполняться для любых в том и только в том случае, если

Преобразуем эту систему:

,

,

Решая систему, получим .

Значит, проекция вектора на подпространство есть вектор

3. Доказать, что в указанном нормированном пространстве со стандартной нормой нельзя ввести скалярное произведение, порождающее эту норму.

 

Пример 1. .

Решение. Допустим противное, то есть что в можноввести скалярное произведение, порождающее стандартную норму. Тогда (как и в любом предгильбертовом пространстве) должно выполняться равенство параллелограмма:

. (1)

Но если , то легко подсчитать, что

, , , .

Подстановка этих данных в (1) приводит к противоречию.

4. Вычислить угол между векторами в пространстве над .

 

Пример 1. , , .

Решение. По определению угол между ненулевыми векторами х и у удовлетворяет соотношениям

.

Поскольку в нашем случае

,

то , а тогда искомый угол равен .

 

5. Становится ли система векторов после нормировки ортонормированным базисом пространства , если (единица стоит на n -ном месте)?

Пример 1. , .

 

Решение. Легко проверить, что для любых (проверьте). Кроме того, система обладает свойством максимальности. Действительно, возьмем и допустим, что . Тогда . Отсюда , т. е. . Итак, система максимальна. Значит, после нормировки станет ортонормированным базисом (почему?).

 

6. Для данного подмножества М гильбертова пространства найти ортогональное дополнение .

 

Пример 1. , при .

Решение. Заметим, что любую функцию можно представить в виде , причем

, .

Пусть теперь . Тогда , а так как , то . Значит,

откуда следует, что почти всюду на .

Обратно, если почти всюду на , то , то есть .

Значит, почти всюду при .

 

Пример 2. , .

 

Решение. Введем обозначение . Тогда имеем

.

Пусть

- одномерное подпространство, порожденное функцией . Тогда

.

Следовательно, , то есть .