Белгородский региональный институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки специалистов

0.0181427

7.3. Пошук локального мінімуму аналітичної функції за допомогою вбудованих функцій системи Маthematica

Система Mathematica надає вбудовану функцію пошуку локального мінімуму аналітичної функції. Вона має вигляд:

FindMinimum [f (х), {х, x0}]

де:

f (х) - аналітична функція аргументу х;

x0 - значення аргументу поблизу локального мінімуму.

Функція FindMinimum [f (х), {х, x0}] знаходить координати всіх мінімумів функції f (х) шляхом її повторень стільки разів, скільки є локальних мінімумів. При цьому щоразу змінюється значення х0.

Технологія відшукання мінімуму функції проста і полягає у виконанні наступних дій:

1. Побудова графіка аналітичної функції f (х) з метою визначення кількості екстремальних точок і вибору значень х0.

2. Введення вбудованою функції FindMinimum [f (х), {х, x0}]

3. Отримання рішення шляхом натискання комбінації клавіш <Shift> + <Еnter>.

Якщо аналітична функція має максимум, то технологія залишається колишньою. Необхідно лише змінити знак функції f (х) на зворотний, помноживши її на -1.

Розглянемо технологію визначення координат мінімуму аналітичної функції на прикладах.

Приклад 7,7

Необхідно визначити координати екстремумів наступної аналітичної функції:

x^4-13x^3 +35 x^2 +13 x-36.

Процедури вирішення задачі наведено на рис. 7.7.

З рис. 7.7 видно, що координатами точок мінімуму і максимуму є: [-0,17, -37], [2.63, 51.64], [7.29, -293.36]. Слід мати на увазі, що ординату максимуму необхідно помножити на -1.

Цей метод порівняно з класичним має ту перевагу, що відгуком тут є координата мінімуму (х і y) і обчислення значень y не вимагається. Його недолік в тому, що він не дозволяє обчислити одночасно координати всіх екстремальних точок.

f= х^{^}4-13 х^{^}3+35 х ^{^}2+13 х -36

Рlot[f,{х,-2,10}]

- 36+ 13х + 35х² - 13 х³ + х⁴

FindMinimum[f,{x,-0.5}]

{-37.1338, {х->-0.169441}}

FindMinimum[-f,{x, 2}]

{-51.6363, {х->2.63205}}

FindMinimum[f,{x, 7}]

{-293.358,{х->7.28739}}

Крім функції FindMinimum [f (х), {х, x0}] система Mathematica має наступні чотири функції, що дозволяють відшукати локальний мінімум аналітичної функції:

□ NMaximize [f, х] - шукає єдиний локальний максимум функції f (х);

□ NMinimize [f, х] - шукає єдиний локальний мінімум функції f (х);

□ NMaximize [{f, zху}, {х, у,... }] - шукає локальний максимум функції f (х), визначений умовою z_ху;

□ NMinimize [{f, zху}, {х, у,...}] - шукає локальний мінімум функції f (х), визначений умовою z_ху.

Технологія визначення локального максимуму (мінімуму) за допомогою приведених функцій практично не відрізняється від технології визначення локального мінімуму функцією FindMinimum [f (х), {х, х0}].

Наведемо приклади визначення екстремальних точок за допомогою цих функцій.

Приклад 7,8

Необхідно знайти координати максимуму (мінімуму) аналітичних функцій: хе-x +1, 3х - 9x + 3.

Спочатку побудуємо графік функції і визначимо, чи має функція екстремальні точку і яка вона (максимум або мінімум). По виду графіка виберемо вбудовану функцію. Рішення виконаємо в послідовності наведених функцій.

Видно, що в результаті рішення отримані координати екстремальних точок, відповідні графіками. При цьому функції NMaximize [f, х] і NMinimize [f, х] не вимагають завдання аргументу поблизу локального максимуму (мінімуму), як це було у випадку використання функції FindMinimum [f (х), {х, x0}].

Розглянемо тепер випадок, коли аналітична функція має кілька екстремумів.

Приклад 7,9

Необхідно визначити координати екстремальних точок наступних аналітичних функцій:

ln (5-3х) + х2 -3,

х5-5x4-4x3 +31 х2 + 2x-30.

Рішення наведено на рис 7.9. Обговоримо результати вирішення завдань.

При визначенні за допомогою функцій NMaximize [f, х], і NMinimize [f, х] координат екстремальних точок аналітичної функції, що має багато максимумів і мінімумів, виникає ряд проблем.

У нашому прикладі функції мають кілька екстремальних точок: перша функція містить один максимум і один мінімум, друга - два максимуми і два мінімуми. Вирішуючи перше завдання, система визначила координати мінімуму і не знайшла координат максимуму (рішення абсурдно). У другій функції система знайшла тільки один максимум і один мінімум, що знаходяться зліва у графіка. Визначити координати інших екстремумів не вдається. У цьому істотний недолік функцій NMaximize [f, х] і NMinimize [f, х].

Існують функції NMinimize [{f, zху...}, {х, у,...}], NMinimize [{f, zху...}, {х, у,...}]. Ці функції знаходять координати екстремальних точок аналітичних функцій багатьох аргументів при обмеженнях z_ху....

f=х Ехр[-х]+1

Рlot[f,{х,0,5}]

1+ e^-xх

NMaximize [f,х]

{1.36788,{х->1.}}

f1=З^х-9 х+3

Рlot[f1, {х,0,5}]

3+3^Х- 9 х

NMinimize [f1,х]

{-6.03739, { х->1. 91439}}

f2=Log[5-3x]+x^2-3

Plot[f2,{x,-2,3}]

-3+x²+Log[5-3x]

NMaximize[f2,х]

{9. 65572578174896 _× 10⁹¹⁹, {х -> -9.82635526619558× 10⁴⁵⁹}}

NMinimize [f2, х]

{-1.50504,{х->0.392375}}

fЗ=х^{^}5-5 х^{^}4-4 х^{^}3+31 х^{^}2+2 х-30

Рlot[f3,{х,-2,4}]

-30 + 2 х + 31 х² - 4 х³ - 5 х⁴ + х⁵

NMaximize[f3,х]

{19.8942,{х->-1.68837}}

NMinimize[f3,х]

{-30.0321,{х->-0.0320697}}

Наведемо приклади визначення координат функцій багатьох змінних, при обмеженнях на їх аргументи.

Приклад 7,10

Необхідно визначити координати точок максимуму і мінімуму наступних функцій:

sin x - e^x+y, x+y <1;

2 ^х -4(х + у), х + у <5;

4(х + у +z) – 2^x+y, х + у + z <7.

У першої та другої функцій визначимо координати мінімуму, у третьої - максимуму.

NMinimize[{Sin[х]-Exp[х+у],х+у<1},{x,у}]

{-3.71828,{х→-1.5708,у→2.5708}}

NMinimize[{2^{^}x-4 (х+у),х+у<5},{х,у}]

{-20., {х→-50.3938,у→55.3938}}

NMaximize [ (4 (х+у+z)-2^{^} (х+у, х+у+z<7}, {х, у,z}]

{28.,{x→1.13 548,у→-49.229, z→57.3645}}

 

 

7.4. Відшукання глобального максимуму (мінімуму) аналітичної функції

Завдання пошуку глобального максимуму (мінімуму) є завданням математичного програмування. Серед цих завдань найбільш часто доводиться вирішувати завдання лінійного програмування.

Завдання лінійного програмування формулюється таким чином. Задана наступна лінійна функція незалежних змінних x1, х2,..., xn:

a1 x1 + a2 x2 +... + an xn,

де a _i - числа, звані коефіцієнтами лінійної функції, i = 1,2,..., п.

Відомо також кілька рівнянь і нерівностей з незалежними змінними які є x1, х2,..., xn.

Такими рівняннями (нерівностями) можуть бути:

a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b (а1х1 + а2х2 +... + аn хn ≤ b), х i ≥ 0, i = 1,2,..., п і ряд інших.

Серед безлічі варіантів, що задовольняють умовам обмеження, необхідно знайти сукупність змінних x1, х2,..., xn, при яких лінійна функція отримує максимальне (мінімальне) значення. Функція a1 x1 + a2 x2 +... + an xn в теорії математичного програмування називається цільовою функцією, а сукупність рівностей і нерівностей - обмеженнями.

Сформульована задача лінійного програмування зустрічається на практиці дуже часто при вирішенні оптимізаційних завдань в техніці, управлінні, економіці.

Система Мathematica має вбудовані функції вирішення завдань математичного програмування. Ці функції мають вигляд:

СоnstrainedМах [f, {0}, {x1, х2,..., хn}]

СоnstrainedMin [f, {0}, {x1, х2,..., хn}]

LinearPrograming [с, m, b]

У цих функціях прийняті наступні позначення:

□ f - цільова функція;

□ Q-вектор обмежень;

□ X _i -шукані незалежні змінні;

□ з - мінімізована величина;

□ m - обмеження;

□ b - величина обмежень.

Функція СоnstrainedМах [f, {0}, {x1, х2,..., хn}] шукає глобальний максимум, тобто такі значення х_i, при яких виконуються всі обмеження Q, а цільова функція має максимальне значення.

Функція СоnstrainedMin [f, {0}, {x1, х2,..., хn}] шукає глобальний мінімум, тобто такі значення х_i, при яких виконуються всі обмеження о, а цільова функція має мінімальне значення.

Функція LinearPrograming [с, m, b] шукає вектор х. с при умовах m. х> = b, х> = 0.

Рішення такого складного завдання, як відшукання глобального максимуму (мінімуму), в системі Маthematica гранично просто:

1. Введення функції СоnstrainedМах [f, {0}, {x1, х2,..., хn}].

2. Отримання рішення шляхом натискання комбінації клавіш <Shift> + <Enter>.

Покажемо технологію відшукання глобального максимуму і мінімуму на конкретних прикладах.

Приклад 7,11

Існує три технології випуску деякої продукції. Для її виготовлення необхідно мати три види сировини. Кожна з технологій вимагає певної кількості сировини даного виду, яке мається в обмеженій кількості. Обсяг виробленого продукту залежить від технології виготовлення і відомий для кожної з технологій.

Необхідно знайти таку технологію, при якій обсяг випущеної продукції максимальний.

Вихідні дані виробництва наведено в табл. 7.1.

Таблиця 7.1. Вихідні дані виробництва Спосіб виробництва Потрібність в сировині (ум. од.) Випуск продукції Першого виду Другого виду Третього виду

 

Технологія виробництва допускає зміну способу виробництва протягом робочого дня.

7.4.1. Математичне формулювання задачі

Позначимо x1, х2, х3 - частки робочого часу, що витрачається на виробництво заданого об'єму готового продукту за умови забезпечення сировиною, відповідно, за першої, другої і третьої технологіях.

Обмеженнями при вирішенні цього завдання є:

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0, x3 ≥ 0;

х1 + х2 + х3 ≤ 1;

2х1 + х2 +2 х3 ≤ 2;

3х1 + 2х2 + х3 ≤ 2;

2х1 + 3х2 + х3 ≤ 2.

Обговоримо прийняті обмеження.

Перше обмеження очевидне: долі робочого часу не можуть бути негативними.

Друге припущення означає, що сумарний робочий час не повинен перевищувати повного робочого дня.

Третє, четверте і п'яте допущення означають, що витрата сировини не повинна перевищувати ліміту (двійка для кожної сировини і технології).

При будь-якій технології буде випущено продукту

30x1 +22 х2 +24 x3.

Ця функція і є цільовою.

У результаті рішення задачі потрібно визначити значення х1, х2, х3 і максимальне значення випущеного продукту, тобто визначити оптимальну технологію виробництва.

У нашому випадку функція глобального максимуму буде мати вигляд:

СоnstrainedMax [30 х1 +22 х2 +24 х3, {х1> = 0, х2> = 0, х3> = 0, 2 х1 + x2 + 2х3 <= 2, 3 х1 +2 х2 + хЗ, <= 2, 2 х1 + 3 х2 + х3, <= 2}, {х1, х2, х3}]

Рішення завдання наведено на рис. 7.11.

СоnstrainedMax[30*х1+22*х2+24*х3,

{ х1>=0, х2>=0, х3>=0,

х1+х2+х3,<=1,

2 х1+ x2+ 2х3<=2,

3 х1+2 х2+хЗ<=2,

2 х1+3 х2+х3<=2},

{х1, х2, х3}]

{27, {x1→ , x2→0, x3→ }}

Видно, що підприємством за зміну буде випущено 27 одиниць продукції по першій і третій технологіям. Випуску продукції по другій технології не повинно бути.

Класичною задачею лінійного програмування є транспортна задача. Наведемо і ми такий приклад.

приклад 7,12

Є чотири складу товарів і три їх споживача. Відома також кількість товарів на кожному складі, потреби кожного споживача, а також вартість доставки товару до кожного споживача.

Необхідно скласти оптимальний план перевезень, при якому сумарна вартість перевезень буде мінімальною.

Вихідні дані задачі наведені в табл. 7.2.

 

 

Таблиця 7.2. Дані про перевезення товарів зі складів до споживачів

	П1	П2	П3	ZС
С1
С 2
С3
C 4
Zn

У таблиці позначено:

□ С1, С2, С3, С4 - склади;

□ П1, П2, П3 - споживачі;

□ Zc - кількість товарів на складі;

□ Zn-кількість товарів, необхідних споживачу.

Цифри в таблиці означають вартість перевезень в умовних одиницях зі складу Сi, до споживача Пj, i = 1, 2, 3, 4, j = 1, 2, 3.

У даному випадку цільовою буде наступна функція:

2n11 +4 n12 + n13 +4 n21 + n22 +2 n23 + 2n31 + 3n32 + 2n33 + n41 +2 n42 +3 n43,

де nij - кількість товару, планованого для перевезення зі складу Ci, споживачеві Пj. Сформулюємо обмеження Q.

Оскільки числа не можуть бути негативними, то

n11 ≥ 0, n21 ≥ 0,..., n42 ≥ 0, n43 ≥ 0.

Сумарна кількість продуктів на складах і потреби споживачів можна представити наступними рівняннями:

n11 + n12 + n13 = 9;

n21 + n22 + n23 = 7;

n31 + n32 + n33 = 7;

n41 + n42 + n43 = 7;

n11 + n21 + n31 + n41 = 12;

n12 + n22 + n32 + n42 = 10;

n13 + n23 + n33 + n43 = 8.

Сукупність нерівностей та цих рівнянь утворюють обмеження Q.

Завдання полягає в тому, щоб знайти такі значення nij цільової функції, при яких сумарні витрати на перевезення були б мінімальними. Скористаємося функцією СоnstrainedMin [f, {0}, {x1, х2,..., хn}].

СоnstrainedMin [

2*n11+4*n12+1*n13+4*n21+1*n22+2*n23+

2*n31+3*n32+2*n33+1*n41+2*n42+3*n43,

{n11>=0,n12>=0,n13>=0, n21>=0,n22>=0,n23>=0, n31>=0,n32>=0,n33>=о, n41>=0,n42>=0,n43>=0, n11+n12+n13==9,n21+n22+n23==7, n31+n32+n33==7,

n41+n42+n43==7, n11+n21+n31+n41==12, n12+n22+n32+n42==10, n13+n23+n33+n43==8}, {n11,n12,n13,n21,n22,n23,n31,n32,n3 3,

n41, n42,n43}]

{41, {n11→1,n12→0,n13→8,n21→0,n22→7,n23→0 n31→4,n32→3,n33→0,n41→7,n42→0,n43→0} }

Видно, що всі товари зі складів доставлені споживачам. Однак далеко не всі споживачі отримали товари з причини високої вартості перевезень.

Белгородский региональный институт повышения квалификации и профессиональной переподготовки специалистов

Некоторые подходы к формированию системы оценки качества образования
(на примере МОУ «Беловская СОШ»)

Выполнила: Цыбина Л.Н,