Дифференцируемость неявных функций

Градиентом функции в точке называется вектор, компоненты которого равны и , взятые в точке .

Обозначение:

(27.4)

Т.к. , то

(27.5)

С другой стороны:

Т.е. (27.6)

Следовательно, максимально при (), т.е.

.

 

Таким образом, градиент функции в точке характеризует направление и величину максимальной скорости возрастания этой функции в данной точке.

Лекция 27

 

Неявные функции, условие их существования.

Дифференцируемость неявных функций

 

27.1.1. Неявная функция одного переменного: (*)

Уравнение не всегда является функцией.

Определим условия, когда уравнение (*) определяет переменную как функцию другой переменной.

 

Теорема 27.1 (о существовании неявной функции).

Пустьфункция непрерывна вместе с частными производными в окрестности точки . Если , , то уравнение (*) в окрестности точки имеет единственное непрерывное решение , где непрерывно дифференцируема.

 

Пример 27.1.

. т.е. существует функция

 

27.1.2. Неявная функция двух переменных: (**)

 

Теорема 27.2.

Пусть функция непрерывна вместе со своими частными производными в окрестности точки . Если , , то уравнение (**) в окрестности точки имеет единственное решение , где имеет непрерывные частные производные.

 

Дифференцируемость неявных функций

Если выполнены условия существования неявной функции, т.е.

существует функция , то (*) имеет вид: .

Тогда, дифференцируя как сложную функцию, имеем:

.