Основные методы интегрирования
1. Непосредственное интегрирование
| 1) ,
2)
3)
| а)
б)
| 2. Внесение функции под знак дифференциала
| Таблица дифференциалов
|
а)
б)
в)
| 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
| 9.
10.
11.
12.
13.
14. .
| | | | |
3. Правило подстановки
| Подстановка
| а)
б)
| 4. Интегрирование по частям
| 1) 2)
3)
| а)
б)
| | | |
5. Интегрирование простейших дробей
| 1)
2)
3)
| а)
б)
в)
.
| 6. Интегрирование рациональных дробей
| 1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби (выделить целую часть).
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
|
Дробь правильная. Представим ее в виде суммы простейших дробей:
, приведем к общему знаменателю
|
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
|
;
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях х:
;
Значит:
| 7. Интегрирование тригонометрических функций
| 7.1.
| Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул
|
а)
| 7.2. ,
где и - целые числа
|
Если m – нечетное положительное, то подстановка .
Если n – нечетное положительное, то подстановка .
Если - четное отрицательное, то подстановка .
Если и - четные неотрицательные, то применяются формулы:
;
| б)
|
7.3.
| Универсальная подстановка , тогда
; ;
; .
Если , то подстановка ;
Если , то подстановка ;
Если , то подстановка .
| в)
| | | | |
8. Интегрирование иррациональных функций
|
8.1.
8.2.
8.3. Квадратичные
иррациональности
8.4. Интегралы типа
8.5. Дифференциальный
бином
,
где
- рациональные числа,
а, b – действительные числа
|
Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей
Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой
Под радикалом выделить полный квадрат
и сделать подстановку
Подстановка
Подстановка
Подстановка
1-й случай
а) если р – целое положительное число, то нужно раскрыть скобки по биному Ньютона и вычислить интегралы от степеней;
б) если р – целое отрицательное число, то подстановка , где - наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n, приводит к интегралу от рациональной дроби;
2-й случай
если - целое число, то применяется подстановка , где - знаменатель дроби р;
3-й случай
если - целое число, то применяется подстановка , где - знаменатель дроби
|
|
Задача.
Первообразными функции являются
Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)
Решение.
Т.к. , то , тогда
Ответ. №4
Задача.
Множество первообразных функции имеет вид
Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)
Решение.
Ответ. №1
Задача.
В неопределенном интеграле введена новая переменная . Тогда интеграл принимает вид
Варианты ответов: 1) 2) 3) 4)
Решение.
Ответ. №4
Задача.
Установите соответствие между интегралом и его значением
1. 2. 3. 4.
Варианты ответов: а) в) с) d) е)
Решение.
1)
2)
3) 4)
Ответ.
|
Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...
|
Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...
|
Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...
|
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...
|
|
Субъективные признаки контрабанды огнестрельного оружия или его основных частей
Переходя к рассмотрению субъективной стороны контрабанды, остановимся на теоретическом понятии субъективной стороны состава преступления...
ЛЕЧЕБНО-ПРОФИЛАКТИЧЕСКОЙ ПОМОЩИ НАСЕЛЕНИЮ В УСЛОВИЯХ ОМС 001. Основными путями развития поликлинической помощи взрослому населению в новых экономических условиях являются все...
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...
|
|
Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...
ТРАНСПОРТНАЯ ИММОБИЛИЗАЦИЯ
Под транспортной иммобилизацией понимают мероприятия, направленные на обеспечение покоя в поврежденном участке тела и близлежащих к нему суставах на период перевозки пострадавшего в лечебное учреждение...
Кишечный шов (Ламбера, Альберта, Шмидена, Матешука) Кишечный шов– это способ соединения кишечной стенки.
В основе кишечного шва лежит принцип футлярного строения кишечной стенки...
|
|