Глава 13. Определенный интеграл
| §1 Вычисление определенного интеграла
| 1. Формула Ньютона-Лейбница
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
 .
Ответ. 9.
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
Ответ.  .
| 2. Замена переменной в определенном интеграле
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
  .
Ответ.  .
|
3. Формула интегрирования по частям
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
 
 .
Ответ.  .
|
| 4. Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
|
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
  .
Ответ. 0.
| Задача.
Вычислить интеграл  .
Решение.
   .
Ответ.  .
|
| | §2 Несобственные интегралы
|
| | Несобственные интегралы I рода
|
| Если функция  непрерывна на  , то
 (*)
Если функция непрерывна на  , то
 (**)
Если функция непрерывна на  , то
  (***)
Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся.
Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***).
| Задача.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость:  .
Решение.
 , интеграл сходится.
|
| | Несобственные интегралы II рода
|
| Если - непрерывна на  и имеет бесконечный разрыв при  , то
 . (*)
Если функция терпит бесконечный разрыв в точке  , то
 . (**)
Если терпит бесконечный разрыв внутри отрезка  , т.е. в точке  ,  , то
 . (***)
Если пределы (*), (**) существуют и конечны, то несобственный интеграл – сходящийся, если эти пределы не существуют или бесконечны - расходящийся.
Интеграл сходится – если сходится каждый из двух интегралов в равенстве (***).
| Задача.
Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость: 
Решение.
 , интеграл расходится.
|
| | §3 Геометрические приложения определенного интеграла
|
| | Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат
| Площадь плоской фигуры в полярной системе координат
|
|  , 
 
|
 - непрерывна на  , 
|
| Задача.
 Площадь фигуры, ограниченной параболой  и прямой  , вычисляется с помощью интеграла…
Варианты ответов: 1)  2)  3) 
4) 
Решение.
 , следовательно,  .
На отрезке  график функции расположен выше графика функции , поэтому
 
Ответ. №3.
|
| | Длина дуги плоской кривой в декартовой системе координат
| 
 , 
| Задача.
Найти длину дуги кривой  от  до   .
Решение.
Так как  , то  ;  .
 .
 .
Ответ.  .
|
|
 , 
|
| | Длина дуги плоской кривой в полярной системе координат
|
 , 
|
| | Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде на плоскости
|
 
|
| | Длина дуги плоской кривой в параметрическом виде в пространстве
|
|
| |
|
| Объем
| Площадь поверхности
| Объем и площадь поверхности тела вращения
Кривая  , вращается вокруг оси 
Кривая  ,  вращается вокруг оси 
|  
|
|
| | §4 Применение определенного интеграла к решению некоторых задач физики
| | Вычисление работы
| Вычисление работы переменной силы  , при перемещении точки вдоль оси из положения  в положение 
| 
| | Вычисление пути
| Путь пройденный телом за промежуток времени от  до  со скоростью 
| 
| | | | | | | | | | | | | | | | |
Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...
|
Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...
|
Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...
|
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...
|
|
Экспертная оценка как метод психологического исследования Экспертная оценка – диагностический метод измерения, с помощью которого качественные особенности психических явлений получают свое числовое выражение в форме количественных оценок...
В теории государства и права выделяют два пути возникновения государства: восточный и западный Восточный путь возникновения государства представляет собой плавный переход, перерастание первобытного общества в государство...
Закон Гука при растяжении и сжатии
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году...
|
|
Патристика и схоластика как этап в средневековой философии Основной задачей теологии является толкование Священного писания, доказательство существования Бога и формулировка догматов Церкви...
Основные симптомы при заболеваниях органов кровообращения При болезнях органов кровообращения больные могут предъявлять различные жалобы: боли в области сердца и за грудиной, одышка, сердцебиение, перебои в сердце, удушье, отеки, цианоз головная боль, увеличение печени, слабость...
Вопрос 1. Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации
К коллективным средствам защиты относятся: вентиляция, отопление, освещение, защита от шума и вибрации...
|
|
