Студопедия — Теорема о пропорциональных отрезках. Деление отрезка в заданном отношении.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема о пропорциональных отрезках. Деление отрезка в заданном отношении.






Теорема о пропорциональных отрезках является обобщением теоремы Фалеса. Напомним, что для использования теоремы Фалеса необходимо, чтобы параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекали на одной из них равные отрезки. Обобщенная же теорема Фалеса утверждает, что если параллельные прямые пересекают две данные прямые, то отрезки, отсекаемые ими на одной прямой, пропорциональны отрезкам, отсекаемым на второй прямой. Теорема о пропорциональных отрезках доказывается аналогично теореме Фалеса (только вместо равенства треугольников здесь используется их подобие).

Теорема о пропорциональных отрезках (обобщенная теорема Фалеса): Параллельные прямые, пересекающие две данные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки.


Дано:

прямые a, b;

A 1, A 2, A 3Ì a;

B 1, B 2, B 3Ì b;

A 1 B 1ïê A 2 B 2ïê A 3 B 3.

Доказать: .


Доказательство:Рассмотрим два случая: a ïê b (рисунок 4а) и a Ç b (рисунок 4б):

a ïê b:

1. A 1 A 2 B 2 B 1, A 2 A 3 B 3 B 2 – параллелограммы по определению, Þ по свойству противоположных сторон параллелограмма A 1 A 2 = B 1 B 2, A 2 A 3 = B 2 B 3, и равенство верно.


a Ç b:

2. Проведем через точку B 2 прямую PQ ïê a: P Î A 1 B 1, Q Î A 3 B 3. Тогда по св-ву противоположных сторон п/г PB 2 = A 1 A 2, B 2 Q = A 2 A 3.

3. D B 1 B 2 P ~ D B 3 B 2 Q по двум углам (Ð B 1 B 2 PB 3 B 2 Q как вертикальные, Ð B 1 PB 2B 3 QB 2 как внутр. н/л при A 1 B 1ïê A 3 B 3 и секущей PQ); Þ по определению подобных треугольников . Подставив в полученную пропорцию A 1 A 2, вместо B 2 P, и A 2 A 3 вместо B 2 Q (смотри п. 2), получим: . Поменяем местами средние члены пропорции: . #

Замечание: Доказательство теоремы о пропорциональных отрезках легко обобщить на произвольное количество пар отрезков.

Покажем, как с использованием обобщенной теоремы Фалеса поделить отрезок в заданном отношении:

Пусть заданы отрезок AB и натуральные числа m и n. Необходимо найти на отрезке AB такую точку M, чтобы AM: MB = m: n.


Дано:

отрезок AB;

m, n Ì N.

Построить: т. M Î AB:

AM: MB = m: n.


Построение:

1. Проведем из точки A луч AX так, чтобы угол BAX не был развернутым (рисунок 5). Выберем отрезок произвольной длины d и отложим на луче AX отрезки AA 1 = A 1 A 2 = … = Am -1 Am = AmB 1 = B 1 B 2 = … =
= Bn -1 Bn = d.

2. Соединим точки B и Bn и проведем через точку Am прямую AmM ïê BBn так, чтобы M Î AB.


3. Точка M – искомая: a ïê AmM ïê BBn, Þ по теореме о пропорциональных отрезках (понятно, что проводить через точку A прямую a ïê AmM необязательно). #







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 1481. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Тактические действия нарядов полиции по предупреждению и пресечению групповых нарушений общественного порядка и массовых беспорядков В целях предупреждения разрастания групповых нарушений общественного порядка (далееГНОП) в массовые беспорядки подразделения (наряды) полиции осуществляют следующие мероприятия...

Механизм действия гормонов а) Цитозольный механизм действия гормонов. По цитозольному механизму действуют гормоны 1 группы...

Алгоритм выполнения манипуляции Приемы наружного акушерского исследования. Приемы Леопольда – Левицкого. Цель...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Пункты решения командира взвода на организацию боя. уяснение полученной задачи; оценка обстановки; принятие решения; проведение рекогносцировки; отдача боевого приказа; организация взаимодействия...

Что такое пропорции? Это соотношение частей целого между собой. Что может являться частями в образе или в луке...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия