Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.

Введем понятие среднего пропорционального двух положительных чисел: Средним пропорциональным (средним геометрическим) двух положительных чисел a и b называется число . Название «среднее пропорциональное» связано с тем, что является средним членом пропорции, крайние члены которой положительны и равны a и b, а средние члены совпадают: , Þ Û .

Оказывается, при проведении высоты к гипотенузе прямоугольного треугольника (рисунок 11) образуется 3 подобных треугольника, в результате чего образованные в треугольнике отрезки связаны замечательными соотношениями. Эти соотношения устанавливает теорема о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике:

· Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное проекций катетов на гипотенузу.

· Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Дано: Δ ABC; Ð A = 90°;

AD – высота.

Доказать: ;

.

Доказательство:

1. По теореме о сумме углов треугольников Ð B = 90° ‑ Ð BAD = Ð CAD.

2. Δ ABD ~ Δ CAD по двум углам (Ð B = Ð CAD, Ð ADB = Ð CDA = 90°); Þ по определению подобных треугольников, ; Þ ; Þ .

3. Δ ABD ~ Δ CBA по двум углам (Ð B – общий, Ð ADB = Ð CAB = 90°); Þ по определению подобных треугольников, ; Þ ; Þ . #

Следствие: Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу пропорциональны квадратам соответствующих катетов (рисунок 11).

Дано: Δ ABC; Ð A = 90°;

AD – высота.

Доказать: .

Доказательство:

По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, , Þ . Аналогично . Тогда . #

Итак, в прямоугольном треугольнике выполняются следующие соотношения (рисунок 11):

;

;

;

;

.