Студопедия — Фактор - пространства нормированных пространств
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Фактор - пространства нормированных пространств






Пусть - нормированное пространство, - замкнутое подпространство. Рассмотрим фактор-пространство . В силу замкнутости класс - замкнутое множество в .

Если для положить

, (3.7)

то превратится в нормированное пространство. Проверим справедливость аксиом нормированного пространства.

Если , то в качестве можно взять нулевой элемент пространства и поэтому . Обратно, если , то согласно (3.7) и по свойству нижней грани существует последовательность , такая что . И поскольку класс - замкнут, то содержит предельную точку: и тем самым является нулевым элементом фактор-пространства .

Проверим однородность нормы, рассматривая случай . Имеем

.

Когда пробегает класс , элемент пробегает класс , откуда следует, что

.

Теперь докажем неравенство треугольника. Для произвольных , имеем , поэтому

.

Переходя в правой части к точным нижним граням, получим неравенство треугольника.

Далее докажем, что если - полное пространство, то и фактор-пространство - полно. Вначале заметим, что согласно (3.7) для каждого найдется такой элемент , что

. (3.8)

А теперь возьмем фундаментальную последовательность в пространстве . Переходя, если нужно к подпоследовательности, можно считать, что ряд

сходится. Способ построения указанной подпоследовательности приведен в теореме 2. К последовательности добавим еще - нулевой элемент пространства . Выберем () так, что

.

Тогда ряд сходится и по теореме 2 в силу полноты пространства сходится такжеряд . Положим и обозначим через , содержащий . Поскольку при каждом справедливо включение , то

, при ,

т.е. . Таким образом доказана теорема.

Теорема 5. Фактор – пространство банахова пространства по любому его подпространству есть банахово пространство.

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 1080. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Сосудистый шов (ручной Карреля, механический шов). Операции при ранениях крупных сосудов 1912 г., Каррель – впервые предложил методику сосудистого шва. Сосудистый шов применяется для восстановления магистрального кровотока при лечении...

Трамадол (Маброн, Плазадол, Трамал, Трамалин) Групповая принадлежность · Наркотический анальгетик со смешанным механизмом действия, агонист опиоидных рецепторов...

Мелоксикам (Мовалис) Групповая принадлежность · Нестероидное противовоспалительное средство, преимущественно селективный обратимый ингибитор циклооксигеназы (ЦОГ-2)...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия