ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2.

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ И МАШИННАЯ AРИФМЕТИКА

Мета: закріплення теоретичних знань; набуття практичних навичок обчислення у роботі В MATHCAD

Робоче місце: учбове місце в кабінеті (комп’ютерний клас)

Тривалість заняття: 90 хв.

Метеріально-технічне оснащення: методичні вказівки, комп’ютер

Хід роботи

Теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 2]. Варианты к задачам 1.1-1.10 даны в ПРИЛОЖЕНИИ 1.A.

Пример оформления отчета по лабораторной работе приведен в ПРИЛОЖЕНИИ 1.B.

Задача 1.1. Дан ряд . Найти сумму ряда аналитически. Вычислить значения частичных сумм ряда и найти величину погрешности при значениях = , , , , .

ПОРЯДОК РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ:

1. Найти сумму ряда S аналитически как предел частичных сумм ряда (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1.B).

2. Используя функцию ()= , вычислить значения частичных сумм

ряда при указанных значениях .

3. Для каждого вычислить величину абсолютной погрешности

и определить количество верных цифр в .

4. Представить результаты в виде гистограммы.

Задача 1.2. Дана матрица A = . В каждый из диагональных элементов матрицы A по очереди внести погрешность в 1%. Как изменился определитель матрицы А? Указать количество верных цифр и вычислить величину относительной погрешности определителя в каждом случае.

Задача 1.3. Для заданной матрицы A найти обратную матрицу (если это возможно). Затем в элемент внести погрешность в 10% и снова найти обратную матрицу. Объяснить полученные результаты.

Задача 1.4. Найти ранг заданной матрицы A. Затем внести погрешность в 0.1% а) в элемент ; b) во все элементы матрицы и снова найти ранг. Объяснить полученные результаты.

Задача 1.5. Дано квадратное уравнение . Предполагается, что один из коэффициентов уравнения (в индивидуальном варианте помечен *) получен в результате округления. Произвести теоретическую оценку погрешностей корней в зависимости от погрешности коэффициента. Вычислить корни уравнения при нескольких различных значениях коэффициента в пределах заданной точности. Сравнить полученные результаты.

Задача 1.6. Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 1.B).

Задача 1.7. Вычислить значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон в режимах одинарной, двойной и расширенной точности на двух алгоритмических языках. Сравнить результаты.

Задача 1.8. Составить программу, моделирующую вычисления на ЭВМ с ограниченной разрядностью m. Решить задачу 1.1 для случая =10000, используя эту программу. Составить график зависимости погрешности от количества разрядов m =4,5,…8.

Задача 1.9. Для матрицы A решить вопрос о существовании обратной матрицы в следующих случаях:

1) элементы матрицы заданы точно;

2) элементы матрицы заданы приближенно с относительной погрешностью a) =a% и b) = b%. Найти относительную погрешность результата.

УКАЗАНИЕ. См. ПРИЛОЖЕНИЕ 1.С.

Задача 1.10. Три вектора , , заданы своими координатами в базисе i, j, k. Что можно сказать о компланарности этих векторов, если: 1) координаты векторов заданы точно;

2) координаты векторов заданы приближённо с относительной погрешностью а) d = a %; б) d = b %.

УКАЗАНИЕ. См. ПРИЛОЖЕНИЕ 1.С.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1.A.

Cхема вариантов к лабораторной работе 1

N	Выполняемые задачи	N	Выполняемые задачи
	1.1.1, 1.2.1, 1.7, 1.6, 1.10.1		1.1.16, 1.5.4, 1.7, 1.6, 1.8
	1.1.2, 1.3.1, 1,7, 1.6, 1.10.2		1.1.17, 1.2.5, 1.7, 1.6, 1.8
	1.1.3, 1.4.1, 1.7, 1.6, 1.10.3		1.1.18, 1.3.5, 1.7, 1.6, 1.8
	1.1.4, 1.5.1, 1.7, 1.6, 1.10.4		1.1.19, 1.4.5, 1.7, 1.6, 1.9.1
	1.1.5, 1.2.2, 1.7, 1.6, 1.10.5		1.1.20, 1.5.5, 1.7, 1.6, 1.9.2
	1.1.6, 1.3.2, 1.7, 1.6, 1.10.6		1.1.21, 1.2.6, 1.7, 1.6, 1.9.3
	1.1.7, 1.4.2, 1.7, 1.6, 1.9.1		1.1.22, 1.3.6, 1.7, 1.6, 1.9.4
	1.1.8, 1.5.2, 1.7, 1.6, 1.9.2		1.1.23, 1.4.6, 1.7, 1.6, 1.9.5
	1.1.9, 1.2.3, 1.7, 1.6, 1.9.3		1.1.24, 1.5.6, 1.7, 1.6, 1.9.6
	1.1.10, 1.3.3, 1.7, 1.6, 1.9.4		1.1.25, 1.2.1, 1.7, 1.6, 1.10.1
	1.1.11, 1.4.3, 1.7, 1.6, 1.9.5		1.1.26, 1.3.1, 1.7, 1.6, 1.10.2
	1.1.12, 1.5.3, 1.7, 1.6, 1.8		1.1.27, 1.4.1, 1.7, 1.6, 1.10.3
	1.1.13, 1.2.4, 1.7, 1.6, 1.8		1.1.28, 1.5.1, 1.7, 1.6, 1.10.4
	1.1.14, 1.3.4, 1.7, 1.6, 1.8		1.1.29, 1.2.2, 1.7, 1.6, 1.10.5
	1.1.15, 1.4.4, 1.7, 1.6, 1.8		1.1.30, 1.3.2, 1.7, 1.6, 1.10.6

 

 

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1

Таблица к задаче 1.1

N		N		N
1.1.1		1.1.11		1.1 21
1.1.2		1.1.12		1.1.22
1.1.3		1.1.13		1.1.23
1.1.4		1.1.14		1.1.24
1.1.5		1.1.15		1.1.25
1.1.6		1.1.16		1.1.26
1.1.7		1.1.17		1.1.27
1.1.8		1.1.18		1.1.28
1.1.9		1.1.19		1.1.29
1.1.10		1.1.20		1.1.30

Таблица к задаче 1.2

N	A	N	A	N	A
1.2.1	3 2 2 33 28 24 360 320 270	1.2.2	30 34 19 314 354 200 2 8 13	1.2.3	1.3 1 13 3.4 1.4 23 5 3 1.5
1.2.4	9 5 6 17 9 11 7 4 5	1.2.5	-7 -7 -1 0 -2 -6 5 6 4	1.2.6	3 1 13 5 3 15 11 5 40

Таблица к задаче 1.3

N	A	N	A	N	A
1.3.1	2 16 -6 3 24 5 1 8 11	1.3.2	2 4.4 -2 1 2 -1 3 -5 0	1.3.3	3 5 3 9 15 9 6 7 2
1.3.4	48 3 6 32 2 4 5 -1 2	1.3.5	2 0.4 6 1.1 0.2 3 2.3 1.2 4	1.3.6	5 5.5 5.5 1 1 1 5 -1 2

Таблица к задаче 1.4

N	A	N	A	N	A
1.4.1	1.1 0.1 0.8 1.6 1.3 -0.3 1.2 2.1 0.9 0.5 0.4 1.1 -0.4 -3.8 2 1.3	1.4.2	0.6 4.5 0.3 3 -2.4 -12 0.9 -7 1.2 9 0.6 6 -1.2 3 3.6 4	1.4.3	1.8 4 0 1.9 20.9 37 -25 19.2 0.5 3 5 1.1 10.6 16 -20 8.9
1.4.4	2 15 22 7 1 14.1 18.8 2.3 2 4 9 9 -0.4 2.5 2.1 -2.4	1.4.5	1.9 9 1.6 0.1 11.3 23 6.8 -3.7 0.5 10 1.1 1.1 0.9 -11 -0.6 -2.1	1.4.6	1.2 9 0.6 6 1.6 23 -7.2 9 2 4 9 9 2 37 -15 12

 

Таблица к задаче 1.5

N	Коэффициенты	N	Коэффициенты	N	Коэффициенты
1.5.1	b* = -39.6 c = -716.85	1.5.2	b = 27.4 c* = 187.65	1.5.3	b* = 37.4 c = 187.65
1.5.4	b = -30.9 c* = 238.7	1.5.5	b* = -3.29 c = 2.706	1.5.6	b = -3.29 c* = 2.706

 

Таблица к задаче 1.9

N	A	a	b	N	A	a	b
1.9.1	31 27 22 32.2 28.2 24 36 32 27	0.1	0.4	1.9.2	30 34 19 31.4 35.4 20 24 28 13	0.05	0.1
1.9.3	3 1 13 13.4 11.4 23 5 3 15	0.05	0.1	1.9.4	9 5 6 13.5 9.5 11 8 4 5	0.1	0.5
1.9.5	-7 -8 -10 28.6 27.6 25 7 6 4	0.1	0.2	1.9.6	-3 -1 -13 26.8 22.4 46 5 3 15	0.1	0.1

 

Таблица к задаче 1.10

N	а1	а2	а3	a	b
1.10.1	(10, 15, 1)	(0.7, 5.7, -9)	(11, 16, 2)	0.05	0.1
1.10.2	(- 2, - 5, 13)	(14.2, 11.2, 28)	(0, -3, 15)	0.5	0.1
1.10.3	(24, 28, 13)	(21.1, 25.1, 10)	(18, 22, 7)	0.05	0.01
1.10.4	(9, 17, 1)	(27, 35, -18)	(6, 14, 4)	0.5	0.1
1.10.5	(14, 4, 17)	(33.9, 23.9, 38)	(13, 3, 16)	0.05	0.1
1.10.6	(9, 17, 1)	(27, 35, -18)	(6, 14, 4)	0.5	0.1