ЗАДАЧА 6

В современных приборах, машинах, аппаратах и автоматизирован­ных комплексах наблюдается непрерывное повышение плотности за­полнения объемов различными электромагнитными элементами, бло­ками и токове-дущими проводниками. В результате этого усилива­ется негативное электромагнитное влияние одних частей устройств на другие. Для ослабления такого влияния могут применяться раз­личные электромагнитные экраны, например в виде труб, в полостях которых располагаются устройства, защищаемые от электрического, магнитного или электромагнитного полей.

Пусть имеется магнитный экран, предназначенный для ослабле­ния (экранирования) внешнего магнитного поля, причем экран пред­ставляет собой длинный полый ферромагнитный круговой цилиндр (трубу) с радиусами поверхностей r ₁ и r ₂ > r _1, характеризуемый усредненной постоянной магнитной проницаемостью m >> m₀ = 4 p×10^-7 Гн/м. Используя рис. 6.1 и данные табл. 6.1, требуется:

1) получить (вывести, доказать, обосновать) каждое из приведен­ных ниже соотношений (6.1)-(6.16);

2) рассчитать и показать на графике зависимость коэффициента экранирования К от толщины стенки цилиндра D = r ₂ – r ₁для зна­чений

D = 1,2,3,4 и 5 мм;

3) определить, во сколько раз уменьшится интенсивность магнит­ного поля внутри экрана при увеличении толщины его стенки в 5 раз? Во сколько раз при этом возрастет вес экрана?

 

Указания

 

Для решения этой задачи сначала необходимо проработать материал, изложенный в [1], с. 110…113 или [2], с. 293…302.

Примем, что вектор напряженности Н ₀ внешнего первичного однородного постоянного (т. е. неизменяющегося во времени) магнитного поля вне цилиндра (экрана) направлен вдоль оси х прямоугольных координат х, y, z (рис. 6.1). Это поле в цилиндрических координатах r, a, z может быть описано с помощью скалярного потенциала.

Таблица 6.1

 

Последняя, пред-последняя или третья от конца цифра шифра	1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
r 1, мм	40 45	50 55 60	65 70 75 80
Значение r 1	выбирается по последней цифре шифра
m / (1000×m0)	1,0 1,2	1,4 1,6 1,8	2,0 2,2 2,4 2,6	2,8
Значение m / (1000 × m0)выбирается по предпоследней цифре шифра

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.1

 

, (6.1)

где

Н ₀ ,

(6.2)

,

т. е. Н ₀ есть величина напряженности внешнего магнитного поля.

Результирующее магнитное поле, учитывающее влияние цилиндра, по аналогии с (6.1) можно также описать с помощью скалярного потенциала:

, n = 1, 2, 3, (6.3)

где - искомые функции, причем согласно рис. 6.1 значение n = 1 соответствует области 1, где r < r ₁ (полость цилиндра), значение n = 2 - области 2, где r ₁ £ r £ r ₂ (стенка цилиндра), а значение n = 3 – области 3, где

r > r ₂ (пространство вне цилиндра).

Потенциал j _n удовлетворяет уравнению Лапласа, которое в цилиндрических координатах с учетом независимости поля от переменной z имеет вид

. (6.4)

Подставив (6.3) в (6.4), получим дифференциальное уравнение Эйлера:

, (6.5)

общим решением которого является функция

, (6.6)

где С_n и D_n - постоянные интегрирования.

Примем, что на оси цилиндра (r = 0) потенциал равен нулю, т. е. согласно (6.3) и рис. 6.1

. (6.7)

На большом же расстоянии от цилиндра (теоретически при r = µ) в соответствии с (6.1) и (6.3) должно выполняться условие

. (6.8)

Кроме того, вследствие граничных условий в магнитном поле на обеих поверхностях цилиндра должны быть непрерывны касательные составляющие вектора напряженности Н, т. е. согласно рис. 6.1

(6.9)

На этих же поверхностях должны быть непрерывны и нормальные составляющие вектора магнитной индукции В, т. е.

(6.10)

С учетом (6.3) составляющие вектора Н будут равны

(6.11)

Подставив эти выражения в (6.9) и (6.10), получим

(6.12)

Отсюда с учетом (6.6) имеем

 

, ;

(6.13)

, .

Кроме того, согласно (6.1), (6.2) и (6.3), (6.6) из (6.7) и (6.8) следует

, . (6.14)

С учетом (6.14) уравнения (6.13) фактически представляют собой разрешимую линейную алгебраическую систему 4-го порядка относительно постоянных интегрирования С ₁ , С ₂ , D ₂ , D ₃ . Однако согласно (6.16) для определения коэффициента экранирования К из системы (6.13) достаточно найти выражение для С ₁ .

Действительно, по определению

. (6.15)

С учетом (6.6), (6.11) и (6.14) выражение (6.15) принимает вид

. (6.16)

Подставив сюда выражение для С ₁ и сократив Н ₀ , можно получить формулу для расчета коэффициента экранирования как функции от радиусов цилиндра r ₁, r ₂ и относительной магнитной проницаемости m_* = m / m₀.