ЗАДАЧА 8

 

Многоамперные токоведущие системы и электрические аппараты, как правило, содержат медные и алюминиевые шины прямоугольного сечения. Переменный ток в поперечном сечении этих шин вследствие поверхностного эффекта распределяется неравномерно, что увеличи­вает их активное сопротивление R по сравнению с сопротивлением R ₀ постоянному току

(R > R ₀).

Пусть имеется, например, алюминиевая шина (рис. 8.1) толщиной 2 а и высотой h >> 2 а, имеющая удельную электропроводность g₀ = 3,5 × 10⁷ Cм/м и магнитную проницаемость m₀=4p×10⁷ Гн/м. По шине протекает синусоидальный ток i с частотой f = w/2p. Исполь­зуя данные табл. 8.1, требуется:

1) получить (вывести, доказать, обосновать) каждое из приведенных ниже соотношений (8.1)-(8.16);

2) рассчитать и показать на рис. 8.1 двумя пунктирными линиями
в масштабе толщины шины 2 а глубину s₀двухстороннего проникно­вения электромагнитного поля;

3) рассчитать для шины длиной 1м активное сопротивление R,
сопротивление R ₀ на постоянном токе и сопротивление R _s при допущении резкого поверхностного эффекта; найти погрешности значений
R ₀ и R _s относительно точного значения R.

Таблица 8.1

 

Последняя, предпоследняя цифры шифра
f, Гц
2 а, мм
Значения f и 2 а выбираются по последней цифре шифра
h, мм
Значение h выбирается по предпоследней цифре шифра

 

Рис. 8.1

 

Указания

Для решения этой задачи сначала необходимо проработать мате­риал, изложенный в [1], с. 146…155 или [2], с. 361…366.

Так как h >> 2 а, то вектор напряженности магнитного поля H в шине (рис. 8.1) практически будет иметь лишь одну составляющую Н_у по оси у, т. е.

, . (8.1)

При этом вектор напряженности электрического поля E имеет только одну составляющую Е_х по оси х, т. е.

, . (8.2)

Электромагнитное поле в шине описывается уравнением Максвелла в комплексной форме:

, , , (8.3)

где и - векторы напряженностей магнитного и электрического полей в комплексной форме.

С учетом (8.1) и (8.2) уравнения (8.3), записанные в прямоугольных координатах x, y, z, принимают вид

, . (8.4)

Отсюда следует уравнение

, (8.5)

где

, . (8.6)

Общее решение уравнения (8.5) имеет вид

, (8.7)

где и - комплексные постоянные интегрирования.

Согласно рис. 8.1 и закону полного тока напряженность (8.7) должна удовлетворять граничным условиям

, , (8.8)

где I – действующее значение тока i, проходящего по шине.

С учетом (8.7) уравнения (8.8) принимают вид

, . (8.9)

Разрешив систему двух алгебраических уравнений относительно и и подставив найденные выражения в (8.7), получим

, (8.10)

где - гиперболический синус (см. (7.11) в задаче 7).

С учетом (8.10) из первого уравнения (8.4) следует

, (8.11)

где - гиперболический косинус (см. (7.10) в задаче 7).

Искомое активное сопротивление

, (8.12)

 

где Р – мощность тепловыделения в шине длиной 1м (рис. 8.1):

. (8.13)

Согласно (8.11) подынтегральная функция в (8.13) преобразуется к виду (см. (7.16) в задаче 7):

. (8.14)

 

С учетом (8.13), (8.14) и (8.8) из (8.12) находим

, . (8.15)

 

Сопротивление R ₀ может быть получено как предел выражения (8.15) при w® 0 (см. пояснения к формуле (7.18) в задаче 7).

Сопротивление R _s фактически равно сопротивлению постоянному току 1 метра шины, когда она имеет ширину не 2а, а 2s₀ (рис. 8.2), т. е.

. (8.16)

Приближенные выражения R ₀и R _sимеют погрешности

, .