Задача №8. По ободу диска радиуса R (рис

По ободу диска радиуса R (рис. 11), вращающегося вокруг своего диаметра по закону φ = φ(t), движется точка М по закону s = s(t). Положительное направление отсчета угла φ показано на рис. 11 дуговой стрелкой. За положительное направление отсчета координаты s принять направление от точки О к точке М. Определить абсолютную скорость V _a и абсолютное ускорение a _a точки М в момент времени t ₁.

Дано: R =30 см; φ = рад; s = см; t ₁ = 1c.

Решение. Абсолютное движение точки М складывается из относительного движения точки по ободу диска, заданного естественным способом по закону s = , и переносного вращательного движения диска, заданного законом вращательного движения φ = .

Неподвижную систему координат О ₁ х ₁ у ₁ z ₁ свяжем с опорой О ₁ (рис. 12), ось z ₁ направим по диаметру диска, вокруг которого он вращается, а подвижную систему координат свяжем с диском (система на рисунке не показана). Считаем, что плоскость диска в данный момент времени совпадает с плоскостью О ₁ у ₁ z ₁.

Вычислим переносную угловую скорость и переносное угловое ускорение диска:

,.

В заданный момент времени t ₁=1c рад/си, следовательно, диск вращается равноускоренно с угловой скоростью рад/с и угловым ускорением рад/с² в сторону, противоположную положительному направлению отсчета угла поворота (рис. 12).

Определим положение точки М в момент времени t ₁= 1с

Центральный угол, включающий дугу s ₁, вычислим по формуле

.

Для определения переносной скорости и переносного ускорения мысленно остановим относительное движение точки в момент времени t ₁ = 1с и определим скорость и ускорение той точки т диска (рис. 12), где в данный момент находится движущаяся точка

.

Расстояние h = МК отсчитывается от точки М до оси вращения диска. Из прямоугольного треугольника СМК расстояние . Тогда переносная скорость будет равна

см/с.

Вектор переносной скорости направлен параллельно оси О ₁ х ₁ в сторону вращения диска, т.е. в сторону отрицательного направления оси .

Переносное ускорение раскладываем на касательную и нормальную составляющие

где модули составляющих см/с², см/с².

Вектор касательного ускорения направим в сторону дуговой стрелки углового ускорения. Его направление совпадает с направле­нием переносной скорости . Вектор нормального переносного ускорения направим по прямой МК к оси вращения.

Перейдем к вычислению относительной скорости и относительного ускорения точки М. Мысленно остановим переносное вращательное движение диска. Относительное движение точки М задано естественным способом. Выберем естественные оси ее траектории. Направим единичный вектор касательной в сторону положительного отсчета координаты s, а единичный вектор нормали –кцентру окружности (рис. 12).

Определим относительную скорость:

Для момента времени t ₁= 1с

См/с2.

Проекция относительной скорости на касательную положи­тельна, следовательно, направление вектора совпадает c направлением единичного вектора .

Относительное ускорение при криволинейном движении точки раскладывается на касательную и нормальную составляющие

где

см/с²,

см/с².

Поскольку >0, то направление вектора совпадает с направлением единичного вектора .

Кориолисово ускорение определим по формуле (2.34):

.

Модуль Кориолисова ускорения в момент времени t ₁ = 1с равен

см/с².

Вектор Кориолисова ускорения по правилу векторного произведения направлен, в данном случае, параллельно оси О ₁ х ₁ в сторону положительного направления оси .

Абсолютную скорость точки М вычислим по теореме сложения скоростей (2.32):

Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль абсолютной скорости точки М

см/с = 1,89 см/с².

Абсолютное ускорение точки М вычислим по теореме Кориолиса (2.33):

.

Эти векторы проектируем на неподвижные оси координат О ₁ х ₁ у ₁ z ₁ см/с²,

см/с²,

см/с².

Модуль абсолютного ускорения точки М м/с².