Алгоритм. Крок 1. Вибирається деяке початкове значення = , воно підставляється в рівняння (28), яке відповідно спрощується.

Крок 1. Вибирається деяке початкове значення = , воно підставляється в рівняння (28), яке відповідно спрощується.

Крок 2. Мінімізується сума квадратів залишків рівняння (28) при фіксованому , в результаті одержуються оцінки , , .

Крок 3. Підставимо значення параметрів = , = , = в модель (28) і визначимо параметр , тобто застосовується 1МНК до рівняння , що і дозволяє знайти .

Крок 4. Задавши в моделі (28), знайдемо на основі 1МНК оцінку параметрів = , = , = .

Процес продовжується доти, поки не буде досягнуто збіжності оці­нок параметрів моделі на двох останніх кроках з вибраною точністю.

Застосовується також процедура, що використовує інструментальні змінні, бо y_t залежить від v_t, а y_t залежить від y_{t– 1}.

Одна зі складнощів моделі – це існування кореляції з . Але, враховуючи зроблене припущення, коли пояснювальні змінні ймовірніше всього не корелюють з , оцінку параметрів моделі

можна знайти за допомогою 1МНК. Кількість лагових значень X, які включаються в цю модель, можна вибрати залежно від обсягу вибірки і від їх здатності пояснити поводження залежної змінної . Якщо значення змінної X має високу автокореляцію, то навряд чи потрібно брати більше ніж два її лагових значення. Записане вище співвідношення зрушимо на один період назад, щоб дістати і під­ставимо вираз у праву частину моделі (16) замість . Після цього застосовується 1МНК для оцінки параметрів a. Ці оцінки будуть обґрунтованими, бо всі пояснювальні змінні гранично не корельовані із залишками, але вони будуть не ефективними, оскільки при оцінюванні параметрів не була врахована автокореляція залишків.

Алгоритм Уоліса. Уоліс запропонував складніший трикроковий метод оцінювання.

Крок 1. Оцінюються параметри моделі

,

де використовується як інструментальна змінна для . Таким чином, визначають:

,

де і , .

Крок 2. Для залишків цієї моделі розраховують коефіцієнт автокореляції першого порядку з урахуванням поправки на зміщення:

,

де .

Крок 3. За допомогою оцінки, здобутої для r, формують матрицю:

і обчислюють оцінку вектора узагальненим методом найменших квадратів:

.

Проведені Уолісом експерименти показали, що його метод оцінювання приводить до значно менших величин зміщення і до меншої суми квадратів залишків, ніж застосування методу Ейткена безпосередньо до моделі (16).

Приклад. Необхідно побудувати економетричну модель, яка характеризує залежність між витратами на харчування і доходом сім’ї згідно з даними, що наведені в табл. 1.

 

Таблиця 1

Рік
Витрати на харчування (грош. од.)
Дохід (грош. од.)

Розв’язання

1. Ідентифікація змінних та специфікація моделі.

y_t – витрати на харчування в період t, залежна змінна;

x_t – дохід в період t, пояснююча змінна;

y_{t– 1} – витрати на харчування в період t– 1, пояснювальна змінна.

Економетрична модель має вигляд:

y_t = a ₀ + a ₁ x_t + a ₂ y_{t– 1} + u_t ;

.

Таким чином, витрати на харчування в період t залежать від доходу в період t та від витрат на харчування в період t– 1.

2. Оцінка параметрів моделі.

Для оцінювання параметрів цієї моделі застосуємо алгоритм Уол­ліса, який базується на методах інструментальних змінних і Ейткена.

2.1. Оцінка параметрів моделі виконується на основі методу інструментальних змінних, де X_{t– 1} використовується як інструментальна змінна для Y_{t– 1}. Отже, в операторі оцінювання матриці та X запишуться так:

; .

Економетрична модель має вигляд

2.2. Визначимо розрахункові значення , відхилення їх від фактичних u_t = Y_t – та дослідимо ці відхилення на наявність автокореляції (табл. 2).

Таблиця 2

Рік	Yt		ut		ut – ut– 1	(ut – ut– 1)2
		21,71	7,29	51,14	–	–
		25,33	8,67	75,14	1,38	1,9044
		20,65	12,35	152,42	3,68	13,5424
		36,326	4,684	21,94	–7,616	58,0035
		50,922	–0,922	0,85	–5,606	31,4272
		64,893	–9,893	92,02	–8,971	80,4788
		74,64	–20,64	426,08	–10,747	115,4980
		60,851	–4,85	23,83	15,79	249,3241
		58,98	3,02	9,12	7,87	61,9369
Всього				852,54		610,2109

Обчислимо критерій Дарбіна–Уотсона:

.

Для рівня значущості a = 0,05, n = 9, m = 3 критичні значення критерію Дарбіна–Уотсона дорівнюють: DW ₁ = 0,629; DW ₂ = 1,699. Звідси DW ₁ < DW < DW ₂, а це означає, що при даній сукупності спостережень важко зробити висновок про наявність чи відсутність автокореляції. Але, взявши до уваги, що значення DW дуже близьке до нижньої критичної межі критерію, ми не можемо відхилити гіпотезу про відсутність автокореляції.

Ця величина критерію може свідчити про те, що залишки, які одер­жані на основі побудованої моделі, мають додатну автокореляцію.

Визначимо коефіцієнт автокореляції:

.

2.3. Складемо матрицю S^{– 1}.

;

.

2.4. Застосуємо оператор Ейткена для оцінювання параметрів моделі:

.

;

.

Економетрична модель:

Y_t = 1,1216 + 0,7944 X_t + 0,8733 Y_{t– 1}.

3. Аналіз економетричної моделі.

Розрахункові значення за моделлю та відхилення їх від фактичних наведено в табл.3.

Таблиця 3

Рік	Yt		ut		(Yt – )2
		26,920	2,080	4,341
		31,203	2,797	7,825
		35,568	-2,568	6,593
		36,283	4,717	22,250
		45,649	4,381	18,935
		55,888	-0,888	0,7878
		61,841	-7,841	61,475
		58,960	-2,960	8,75
		61,126	0,874	0,768
Разом				131,7338

3.1. Залишкова дисперсія

.

3.2. Загальна дисперсія

.

3.3. Дисперсії та стандартні помилки оцінок параметрів моделі:

;

.

;

.

3.4. Коефіцієнти детермінації та кореляції:

;

R = 0,92.

3.5. Критерій Фішера (F -критерій)

;

F _{(0,05)крит} = 4,46; F _факт > F _табл .

Наведені щойно характеристики дисперсійного аналізу економетричної моделі свідчать про значущість зв’язку між витратами на харчування в період t і доходом в період t, а також витратами на харчування в період t – 1(F _крит < F _факт). Коефіцієнт детермінації показує, що на 85% варіація витрат на харчування визначається варіацією пояснювальних змінних моделі. Коефіцієнт кореляції також показує, що зв’язок є тісним.

Оцінки параметрів моделі мають порівняно високі стандартні по­милки, що свідчить про їх неефективність. Це пов’язано з варіацією фактичних спостережень змінної y_t в часі та кількістю спостережень.

Отже, при оцінці параметрів моделі, яка розглядалась в прикладі, були порушені дві необхідні умови для застосування методу 1МНК:

1) ;

2) .

Два етапи оцінювання параметрів економетричної моделі на основі алгоритму Уолліса спочатку враховують умову (застосовується метод інструментальних змінних), а потім (застосовується метод Ейткена).

Контрольні запитання

1. Що таке лаг і що означає «лагова змінна»?

2. Дайте означення моделі розподіленого лагу.

3. Чим відрізняється модель розподіленого лагу від узагальненої моделі розподіленого лагу?

4. Яку схему розподіленого лагу запропонував Койк?

5. Назвіть найпростіші гіпотези, які застосовуються відносно залишків в моделях розподіленого лагу.

6. Як оцінюються параметри моделей при різних формах залишків?

7.Опишіть алгоритм ітеративного методу для оцінювання параметрів моделі.

8. Опишіть трикрокову процедуру оцінювання за Уоллісом.