ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Дисперсионный анализ – метод оценки существенности различий нескольких средних. Его применяют при статистической обработке многовариантных, многофакторных опытов.

Критерий, используемый для оценки различий между выборочными средними, назван в честь Р.Фишера критерием F – распределения. Критерий F представляет собой отношение двух дисперсий:

где и - средние квадраты (дисперсии), рассчитанные по выборочным данным с учетом числа степеней свободы вариации.

Теоретическое значение F показывает случайную величину отношения двух дисперсий при данном уровне вероятности суждения и соответствующем числе степеней свободы анализируемых дисперсий. Критерий F связывают с вероятностью. Наиболее часто применяют уровни вероятности суждения – 0,95 и 0,99 (5 и 1% - ный уровни). Это означат, что только в пяти (в одном) случаях из 100 значение F может достигать табличного уровня или быть больше его для отношения дисперсий двух выборок, сделанных из одной и той же генеральной совокупности.

Табличное значение F используется как критерий для оценки фактических отношений дисперсий, рассчитанных по выборочны данным. Если F_факт > F _табл, мало вероятно, что такое отношение случайное. А, значит, и различия в вариации нельзя отнести только за счет случайного колебания их уровня, и разница между средними существенна. В случае, когда F_факт ≤ F _табл, при данном уровне вероятности суждения и соответствующем числе степеней свободы, это означает, что различия между сравниваемыми дисперсиями находятся в пределах возможных случайных колебаний.

Порядок проведения дисперсионного анализа идентичен при простых моделях, когда группировочный признак один, и при сложных моделях, когда группировочных признаков два или больше. Но с увеличением числа группировочных признаков более сложен процесс расчленения вариации по источникам образования.

При группировке по одному признаку общий объем вариации можно разложить на вариацию, связанную с действием группировочного признака, и вариацию внутригрупповую (остаточную):

При группировке по одному признаку группы могут быть равными и неравными, сформированы в случайном порядке, когда наблюдения одной группы не связаны с наблюдением другой группы, или неслучайном, когда наблюдения одной группы связаны с наблюдениями другой группы.

В опытах, где формируются группы соответственно числу повторностей по каждому варианту, схема дисперсионного анализа предусматривает исключение из общего объема вариации тех колебаний, которые обусловлены влиянием фактора, различиями в повторах и индивидуальными различиями внутри каждой группы.

Таким образом, общая сумма квадратов подразделяется на сумму квадратов отклонений вариантов опыта (групповая), сумму квадратов отклонений повторений и остаточную сумму квадратов:

При группировке данных по двум признакам общая сумма квадратов отклонений будет иметь уже две групповые суммы квадратов и сумму квадратов отклонений взаимодействия факторов и остаточную:

.

Если формирование групп будет неслучайным, разложение сумм квадратов усложнится. В итоге, при группировке по двум признакам и неслучайном распределении повторностей по группам дисперсионный анализ проводится по следующей схеме:

После того как определены суммы квадратов, необходимо установить степени свободы, вариации, соответствующие каждой сумме квадратов.

При группировке данных по одному признаку и случайному распределению повторностей в группах общее число степеней свободы составит , для групповой вариации (количество средних k минус 1), для остаточной вариации (общее число степеней свободы минус число степеней свободы для групповой вариации). Определение числа степеней свободы при группировке по одному (двум) признакам и неслучайном распределении повторностей рассмотрено на конкретных примерах.

Определив число степеней свободы и суммы квадратов отклонений рассчитывается групповая и остаточная дисперсии:

Дисперсия групповая () характеризует в среднем вариацию, обусловленную влиянием группировочного признака и определяется так:

.

Дисперсия остаточная () измеряет вариацию, обусловленную случайными причинами, которые не учитывались при распределении данных наблюдений на группы.

.

Если групповая дисперсия значительно больше остаточной, то фактор оказывает существенное влияние на величину признака. Фактическое отношение групповой дисперсии к остаточной () сравнивают с табличным значением F.

Отношение дисперсий групповой и остаточной позволяет сделать с определенной вероятностью вывод о том, достоверны ли различия в средних. Если есть необходимость сделать заключение об отдельных парах средних, этот вывод недостаточен.

Поэтому результаты дисперсионного анализа дополняются оценкой достоверности разности между двумя средними.

Для этого рассчитывается средняя ошибка выборочных средних на основе остаточной дисперсии:

.

Средняя ошибка разности двух средних - корень квадратный из суммы квадратов средних ошибок сравниваемых средних, но так как m² одинакова для всех средних,

.

Принимая доверительный уровень вероятности по таблицам t Стьюдента определяют критическую величину t.

На основе средней ошибки разности двух средних и t_табл вычисляют возможную предельную ошибку этой разности:

.

Предельная ошибка сопоставляется с разностью двух сравниваемых средних

.

Если разница между средними больше по абсолютной величине возможной предельной ошибки, то делается вывод о существенности разности средних. Если же , то разница между средними лежит в границах возможных случайных колебаний, т.е. она недостоверна.

Величину принято называть наименьшей существенной разностью.