I. Задача о массе материальной пластины

Определение 1. Разбиением T простого компакта DÌR² будем называть любое представление его в виде объединения конечного числа квадрируемых компактов (D S_K) попарно без общих внутренних точек. Ø, i¹k; .

Эти компакты (D S_K) назовем ячейками разбиения T компакта D, а площадь ячейки

(D S_K) обозначим через D S_K ().

Определение 2. Диаметром l(T ) разбиения T простогокомпакта D будем называть наибольший из диаметров его ячеек:

().

y

 

 

0 x

Очевидно, что для любого простого компакта DÌ; R ² можно указать разбиение T со сколь угодно малым диаметром. Наиболее удобным является разбиение с помощью прямых, параллельных осям координат.

 

Определение 3. Пусть в плоскости OXY расположена материальная пластина D (представляющая собой простой компакт) c поверхностной плотностью m(x₀;y₀) распределения масс в точке P₀(x₀;y₀) пластины D называется предел

,

где D - любая квадрируемая часть пластины D, содержащая точку P_0, а S_D, m(D), l(D) - соответственно площадь, масса и диаметр этой части D пластины D.

 

Если пластина D однородная, т.е. , то ее масса m равна .

Пусть теперь пластина D неоднородная, т.е. в D.

Возьмем произвольное (достаточно мелкое) разбиение T пластины D на любое конечное число n ячеек (D S_k) (попарно без общих внутренних точек) с площадями D S_k (). В каждой ячейке (D S_k) выберем произвольную точку , тогда масса всей пластины D будет приближенно равна

. (1)

Определение 4. Массой m материальной пластины D называется предел суммы (1) при (если этот предел существует и конечен):

. (2)

Пределы вида (2) носят название двойных интегралов.