Применение характеров матриц для приведения методом подбора.

 

 

Очевидно, что для показанных выше простых матриц 2 х 2 или 3 х 3 характер каждой матрицы – это сумма характеров соответствующих неприводимых матриц, т.е.

χ_R =Σ χ_I

где χ_R и χ_I относятся к характерам приводимых и неприводимых матриц соответственно. Это достаточно общий результат и иногда он может быть использован для получения неприводимого представления методом подбора.

Например, представление Гzn упоминавшееся ранее имеет характеры χ_R = 2 2 2 2 для четырёх матриц и в точечной группе C_2v это может соответствовать только такому случаю:

	E	C2(z)	sv(xz)	s¢v(yz)
+

т.е. 2А₁.

Если матрицы, которые формируют приводимое представление - небольшие, т.е. 2 х 2 или, возможно также, 3 х 3 – метод проверки является одним из наиболее быстрых способов получения неприводимых представлений, и также может использоваться для проверки правильности представления, которое получено для данного набора характеров.

 

Пример: для точечной группы C_2v показать, что представление Г₁, состоящее из матриц с характерами 5 3 1 -1 может быть приведено к 2А₁ + 2А₂ + В₁.

В данном случае соответствующая проверка может быть сделано путём сложения столбцов для каждой операции в таблице характеров для группы C_2v.

С2v	E	C2(z)	sv(xz)	s¢v(yz)	h =4
А1					z	x2, y2, z2
А2			-1	-1	Rz	xy
В1		-1		-1	x, Ry	xz
В2		-1	-1		y, Rx	yz

 

	E	C2(z)	sv(xz)	s¢v(yz)
А1
А1
А2			-1	-1
А2			-1	-1
В1		-1		-1
Г1				-1

 

3.3 Приведение представлений с использованием «формулы приведения»

 

В приведенном выше примере было достаточно просто подтвердить, что конкретный (частный, отдельный) набор неприводимых представлений появляется из заданных характеров Г1, но для того, чтобы вывести пять неприводимых представлений кажется, что привлекается едва ли не метод проб и ошибок, включающий в себя случайный выбор строк и чисел до тех пор, пока соответствие не будет достигнуто. К счастью, существует общий метод для получения неприводимых представлений, которые составляют любое приводимое представление. Этот способ состоит из формул приведения и включает только характеры матриц приводимого представления вместе с информацией, содержащейся в подходящей (соответствующей) таблице характеров.

Формула призвана определить число каждого типа неприводимых представлений содержащихся в данном приводимом представлении, и наиболее удобно иллюстрировать её использование на конкретном примере. Общая формула:

где «n» - количество раз. Которое встречается данное неприводимое представление. χ_R и χ_I – это характеры приводимых и неприводимых представлений. N - коэффициент перед каждым из символов элементов симметрии, перечисленных в верхней строке таблицы характеров, «h»-это порядок группы и сума коэффициентов элементов симметрии, т.е. h = SN. Это также, как упоминалось в части I-максимальное количество эквивалентных точек, которое может быть получено из единичной точки с помощью всех операций симметрии в группе.

Суммирование в формуле приведения производится по каждому столбцу в таблице характеров для рассматриваемого неприводимого представления. Мы сначала применим формулу приведения к представлению Г₁ в точечной группе C_2v:

С2v	E	C2(z)	sv(xz)	s¢v(yz)
Г1				-1

 

В точечной группе C_2v коэффициенты N при Е, C₂ (z), σ_v (xz) и σ _v' (yz)все равны 1 и порядок группы равен 4.

С2v	E	C2(z)	sv(xz)	s¢v(yz)	h =4
А1					z	x2, y2, z2
А2			-1	-1	Rz	xy
В1		-1		-1	x, Ry	xz
В2		-1	-1		y, Rx	yz

Количество раз, которое отдельное представление получено путём сосредоточивания внимания на соответствующе строке характеров для представления, ив первую очередь расчёта результата Nχ_Rχ_I поочерёдно для каждого з элементов симметрии.

Таким образом при подсчёте количества представлений А₁ n (А₁) мы сосредоточиваемся на значении χ_I для этого представления, которое равно +1 для каждой операции. Затем мы можем записать этот список в виде:

N x χ_R x χ_I

для Е 1 х 5 х 1 =5

для C₂ (z) 1 х 3 х 1 = 3

для σ_v (xz) 1 х 1 х 1 =1

для σ _v' (yz) 1 х -1 х 1 = -1

Сумма этих значений S Nχ_Rχ_I равно 8, и поскольку порядок группы равен 4, то количество представлений А₁, n (А₁) = 2.

Число представлений А2 подобным образом получается при внимательном рассмотрении значенияй χ_I 1 1 -1 -1 которые относятся к представлению А₂ в точечной группе C_2v. Значит, мы можем определить n (А₂) как

n (А₂) = (1/4){ (1 х 5 х1) + (1 х 3х 1) + (1 х 1 х-1) + (1 х -1 х -1)}= 1/4{5 + 3 – 1+1} = 2

Подобным образом:

n (В₁) = (1/4){ (1 х 5 х1) + (1 х 3х - 1) + (1 х 1 х 1) + (1 х -1 х -1)}= 1/4{5 + 3 – 1+1} = 1

Этот результат совпадает с полученным ранее. И для того, чтобы подтвердить, что в Г₁ не входят представления В₂, мы можем рассчитать n (В₂) как:

n (В₂) = (1/4){5 – 3 – 1 - 1} = 0.

Если значение «n» полученное из формулы приведения отрицательное или дробное, тогда одно из двух - либо была допущена арифметическая ошибка при подсчёте, либо один или несколько характеров χ_R в приводимом представлении указаны неправильно.