Матрицы и представления в точечных группах более высокого порядка - вырожденные представления

В двух предыдущих главах мы сталкивались с матрицами, которые описывали операции Е, i, σ и С₂, и, хотя некоторые из этих матриц были сравнительно высокого порядка, вплоть до 3´3, всегда было возможно упростить соответствующие приводимые представления таким образом, чтобы конечные неприводимые представления были матрицами 1´1 – фактически «числами».

Такая ситуация не имеет широко применения, когда мы рассматриваем оси вращения высших порядков и точечные группы более высокого порядка, которые их содержат.

 

4.1 Матрицы для вращения С₄

На Рис. 4.1 представлена система (каркас, система отсчёта, конструкция)

Рис. 4.1

для сопоставления эффекта от вращения С₂ (z) для точки общего положения P (X, Y, Z) в плоскости xy с С₄ вращением относительно z. Вращение на 180^о против часовой стрелки переведёт Р в новую позицию Р' с координатами X', Y' такими как.

X' = - X и Y' = - Y

Единственное равенство в виде матрицы, которое описывает эту операцию:

но очевидно, что оно может быть упрощено, приводя к двум равенствам, включающим только матрицу 1´1.

C₂ (z) (X) = (-1) (X) и C₂ (z) (Y) = (-1) (Y)

Напротив, поворот на 90^о против часовой стрелки переведёт Р в позицию Р'' с координатами X'', Y'' такими, что

X'' = - Y и Y'' = X

и с соответствующим матричным равенством:

Тем не менее, эта матрица для С₄¹ не может быть упрощена далее. Значения X и Y перепутались сложным образом при проведении операции С₄. Поворот на 270^о, соответствующий С₄³, переведёт точку P (X, Y) в позицию Р''' со значениями координат (Y,- X), а матрица, описывающая это:

В этой матрице такжеперепутались X и Y, и хотя она отличается от матрицы для С₄¹, существенным является то, что характеры для матриц С₄¹ и С₄³ одинаковые.

 

4.2 Матрицы для поворота на угол q: общее выражение для характера операции С_n¹

Эффект от поворота против часовой стрелки относительно оси z на обобщённый угол q

Рис. 4.2

проиллюстрирован на Рис. 4.2, где точка Q (X, Y) лежащая в плоскости xy передвигается в позицию Q' (X', Y'). Если мы определим расстояние между Q и Q' как «d», тогда начальные координаты Q (X, Y) могут быть выражены альтернативным способом:

X = d cos α;, Y = d sin α;

После вращения новые координаты (X', Y') задаются как

X' = d cos (α + θ;), Y' = d sin (α + θ;)

Преобразование этих обычных тригонометрических выражений даёт:

X' = d {cos α cos θ; - sin α; sin θ } = X cos θ; - Y sin θ;

Y' = d {sin α; cos θ; + cos α sin θ;} = Y cos θ + X sin θ;

Вращение относительно z на угол θ (n = 360/ θ;) против часовой стрелки может быть поэтому подытожено в виде матричного равенства

Характер этой матрицы, следовательно, равен 2 cos θ;.

Вообще говоря, точка Q также имеет z координату Z и действие С_n¹ переведёт Q (X, Y, Z) в Q' (X', Y', Z'). Однако, так как ось С_n лежит вдоль оси z, в результате такого вращения координата Z останется без изменений.

Z' = Z,т.е С_n (Z) = (+1) (Z)

Если мы включим это дополнение в наше описание этой операции, тогда матрица, описывающая действие С_n¹ на точку общего положения (X, Y, Z), может быть представлена как

И характер для неё имеет значение

χС_n = 2 cos θ; + 1

Это важный общий вывод, и он приводит непосредственно к характеру матрицы для вращения вокруг оси любого порядка.

Это равенство также приводит к дополнительному общему выводу, связанному с характерами матриц для C_n^m

Характер матрицы для операции С_n¹ будет идентичен характеру матрицы для С_n^-1 (т.е. С_n^n-1 ).

 

Эта равнозначность возникает потому что cos θ; = cos (- θ;) и имеет эффект, заключающийся в том, что характер не зависит и то направления оси и от направления вращения.

Таким образом мы можем переступить через некоторую неопределённость, связанную с «направлением» осей (по отношению к позициям атомов в молекуле) и с возникающим в последствии направлением вращения (по часовой или против часовой стрелки), в который вовлечены оси высших порядков. Оба этих направления иногда выбираются каким-либо случайным образом без предпочтений.

 

Таким образом, мы избавляемся от некоторой неопределённости, связанной с «направлением» осей (по отношению к позициям атомов в молекуле) и направлением вращения (по или против часовой стрелки) вокруг осей высших порядков. Оба эти направления обычно выбираются случайным образом, без каким-либо предпочтений.