Метод подбора частного решения ЛНДУ по виду правой части (метод неопределенных коэффициентов).
Этот метод применим к решению ЛНДУ с постоянными коэффициентами вида (3) только в случаях, когда его правая часть: · многочлен; · показательная функция; · тригонометрические функции (или одна из них); · линейная комбинация перечисленных функций; · произведение перечисленных функций. Таким образом, рассматриваемый метод применяется при следующем виде правой части ЛНДУ:
, (2) где - многочлен степени , а - многочлен степени , -заданные числа. Возможны разновидности этого вида правой части в зависимости от того, содержатся или нет в тригонометрические функции.
Сущность метода состоит в том, что:
· по характерному виду правой части ЛНДУ и корням характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ определяется общий вид частного решения уравнения (ниже рассматриваются различные случаи и соответствующих им );
· неизвестные коэффициенты многочлена или тригонометрических функций в искомом находятся методом неопределенных коэффициентов. Он состоит в приравнивании коэффициентов при одинаковых степенях (или при одноимённых тригонометрических функциях) левой и правой частей уравнения, полученного в результате подстановки в данное ЛНДУ частного решения (в его общем виде) и его производных ; · найденные коэффициенты подставляются в предварительно установленный общий вид , в результате находится . · далее в соответствии со структурой общего решения ЛНДУ суммируется ЛОДУ и ЛНДУ и получается
.
Рассмотрим два различных вида (и их частные случаи) правой части ЛНДУ (3) и соответствующие им виды частного решения (см. таблицу 3).
Таблица 3. Частное решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений по виду его правой части
Рассмотрим сущность метода подбора частного решения ЛНДУ по виду правой части на примерах.
I вид. Правая часть ЛНДУ
, (1)
где - многочлен -ой степени, - постоянное число. Тогда общий вид частного решения: , где - та же самая показательная функция, что и в ; - многочлен той же степени, что и ; - число корней характеристического уравнения, равных . Далее путем подстановки общего вида в линейное неоднородное дифференциальное уравнение находятся неопределённые коэффициенты многочлена .
Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения:
.
|