Означення. Нерозкладна матриця А, яка не є циклічною, називається примітивною.

Зауважимо, що одночасною перестановкою рядків і стовпців циклічної матриці А її можна звести до вигляду

, де розміри квадратного блока співпадають із кількістю елементів у множині .

Теорема. Якщо матриця примітивна, то вона стійка.

Теорема. (Ознака стійкості невід’ємної матриці в залежності від її власних чисел).

Для того, щоб нерозкладна матриця була стійкою, необхідно і достатньо, щоб всі її власні числа знаходилися всередині круга радіуса :

 

Аналіз продуктивності моделі «затрати-випуск»

Виявляється, що продуктивність моделі Леонтьєва повністю визначається величиною числа Фробеніуса матриці А коефіцієнтів прямих затрат.

Теорема 1. (Критерій продуктивності моделі «витрати-випуск»).

Для продуктивності моделі Леонтьєва

(1)

необхідно і достатньо, щоб Фробеніусове власне число матриці А задовольняло нерівність .

▼Достатність. Покажемо, що при модель (1) продуктивна. Для цього покажемо, що

*) ,

**) існує .

Маємо , отже , бо за умовою. Оскільки для вектора Фробеніуса , то твердження (*) доведено.

Запишемо тотожність, справедливу для довільної квадратної матриці А:

(2)

Перейдемо в (2) до границі при . Границя правої частини існує і дорівнює І. Тому . Отже ряд збігається і його сума представляє собою матрицю , обернену до :

(3)

Ми отримали матричний варіант формули для суми нескінченно спадної геометричної прогресії.

Оскільки при будь-якому , то матриця невід’ємна і для довільного невід’ємного вектора споживання система (1) має розв’язок

(4)

Отже, модель Леонтьєва є продуктивною.

Необхідність. Припускаючи, що модель Леонтьєва продуктивна, робимо висновок про існування такого вектора , що .

Нехай при цьому вектор , тоді . Помножимо останню нерівність скалярно на вектор :

тобто .

Оскільки , то звідси .

▲;

Отже, перевірка моделі Леонтьєва на продуктивність звелась до чисто математичної задачі оцінки власних чисел матриці А.

Тепер сформулюємо деякі достатні ознаки продуктивності безпосередньо в термінах параметра моделі (1).

Теорема 2. (Достатня умова продуктивності моделі «затрати-випуск»). Нехай система (1) має розв’язок при деякому .

Тоді модель Леонтьєва продуктивна.

Іншими словами, якщо деякий додатній кінцевий попит можна задовольнити в моделі Леонтьєва (1), то вона продуктивна.

▼;

Міркуючи так, які при доведенні необхідності в теоремі 1, будемо мати . Тепер залишається застосувати теорему 1.

▲;

Теорема 3. (Достатні умови продуктивності моделі «витрати-випуск»). Нехай

1) матриця невід’ємна і нерозкладна;

2) сума елементів кожногоi-го рядка не перевищує 1:

3) хоча б для одного рядка .

Тоді модель Леонтьєва, яка відповідає цій матриці, є продуктивною.

▼;

Доведення. Нехай лівий вектор Фробеніуса матриці А, . Тоді будемо мати

Але, крім цього

Отже, знову , тобто і далі застосовуємо теорему 1.

▲;

Економічне тлумачення теореми 3. Нехай ми розглядаємо міжгалузевий баланс в натурально-вартісній формі. Отже, елемент матриці А означає на яку суму j-та галузь витрачає продукцію i-ї галузі в розрахунку на 1 грн своєї продукції. Тоді виражає сумарну величину витрат продукції і-ї галузі всіма галузями при умові, що кожна з них випускає продукції на 1 грн. Умова означає, що і -та галузь здатна задовольнити потреби всіх галузей. Однак тільки цієї умови замало, бо матриця не є продуктивною.

 

x – Ax = с x >= 0

x = (I – A)^-1с = () с = с + Aс + A²с + …

Прокоментуємо цю формулу, з якої, за умови продуктивності моделі, можна знайти за відомим кінцевим попитом с валовий продукт х.

Щоб дістати вектор с >= 0 кінцевого попиту необхідно виробити всю кількість продукції, яку описується компонентами цього вектора (I додаток – с) але в процесі виробництва с виникають витрати Aс – II додаток, в свою чергу, для виробництва Ас знову маємо виробничі витрати А²с = ААс і т.д. тому ряд

(I – А)^-1с = с + Ас + А²с + …

називається повними витратами на виробництво продукту, а матрицю

(I – А)^-1 називаємо матрицею повних витрат.

Повернемось до моделі міжнародної торгівлі. Вияснимо поведінку векторів прибутку d з моделі, яка описується рівнянням Qd = d. Оскільки для матриці Q повинна виконуватись умова, що сума елементів кожного стовпця рівна 1, то з теореми про область зміни фробеніусового числа маємо _Q = 1.

Отже, якою торгівля починається в умовах, коли початковий розподіл прибутків співпадає з одним з векторів Фробеніуса d_Q, то внаслідок такої торгівлі прибутки країн не змінюватимуться: d = d_Q (Q d_Q = d_Q) і послідовність d_Q, d_Q … d_Q є стаціонарною.

Якщо починаємо торгівлю з довільного початкового вектора d₀, то зміна вектора прибутків d_(k) = Q^kd₀ залежить від властивостей матриці Q. Якщо Q нерозкладна і примітивна, то вона стійка, тобто , тобто ми отримали d_k = = .