Коэффициенты корреляции рангов

Наряду с r и η для измерения тесноты зависимости между коррелируемыми показателями часто используются так называемые эмпирические показатели, которые называются коэффициентом корреляции рангов:

1. Коэффициент Спирмэна (p)

2. Коэффициент Кендэла (τ)

Оба эти показателя основаны на корреляции не самих значений (х и у), а их рангов.

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна

Для расчета коэффициентов корреляции рангов Спирмэна значения случайных величин х и у нумеруются (каждое отдельно) в порядке возрастания (или убывания) от 1 до n, т.е. им присваивается определенный ранг (N_х и N_у) – порядковый номер в ряду. Если встречается несколько одинаковых значений х (или у), то каждому значению присваивается ранг, равный частному от деления суммы рангов, приходящихся на эти значения, на число этих равных значений.

Затем ранги отдельных значений факторного признака сопоставляются с рангами результативного признака.

Разность рангов (N_x-N_y) обозначают d. Степень тесноты связи между изучаемыми признаками в этом случае можно определить по формуле Спирмэна

где d – разность рангов х и у

n – число пар наблюдений.

Коэффициент корреляции рангов Спирмэна р находится в пределах от 0 до ±1. Когда ранги результативного признака полностью совпадают с рангами факторного признака, то каждое значение N_x=N_y и ∑d²=0, тогда р = 1, то можно говорить о почти полной прямой связи. Если ранги идут строго в противоположном направлении, т.е. первому рангу фактора х соответствует n-й ранг (последний) результативного признака у, второму рангу х соответствует n-1 ранг у и т.д., то в этом случае максимальная величина будет равна

может иметь максимальное значение 2.

И тогда по формуле Спирмэна р=-1, что свидетельствует почти о полной обратной связи между х и у.

Если же связь между изменениями х и у отсутствует (р=0), то очевидно, в этом случае должно наблюдаться равенство.

Этот показатель менее точен по сравнению с r и η. Расчет показателя прост, поэтому ему отдают предпочтение.

 

Пример.

производственные основные фонды, млн.р. х	валовая продукция, млн.р у	Nx	Ny	d=Nx-Ny	d2
60,5	836,4		10,5	0,5	0,25
40,7	836,4		10,5	-0,5	0,25
33,8	303,0			-2
22,1	134,9		1,5	2,5	6,25
33,8	139,3
33,8	265,0
20,9		1,5		-2,5	6,25
35,9	287,2
21,6	189,9		5,5	-2,5	6,25
22,4	189,9		5,5	-0,5	0,25
20,9	134,9	1,5	1,5
∑					40,5

Находим коэффициент Спирмэна

Зависимость между стоимостью основных фондов и выпускаемой продукции сильная.

Коэффициент Кендэла (τ)

Для расчета значения ранжируются. Затем определяют меру соотношения последовательности рангов у последовательности рангов х.

При этом для каждого ранга у определяют число следующих за ним значений рангов, превышающих его величину. Сумму чисел таких превышений обозначаем Р и будем считать со знаком (+). Аналогично для каждого ранга (у) определяют число следующих за ним рангов, имеющих значение меньше его величины. Сумма чисел таких случаев обозначаем через Q и будем считать со знаком (-).

Очевидно, что Р достигает максимума в том случае, если ранги у точно совпадают с рангами х. Если число пар рангов равно n, то максимальное значение слагаемого Р будет равно:

Р_max=(n-1)+(n-2)+…+3+2+1=n(n-1)/2

Соответственно слагаемое Q_max тоже имеет максимум абсолютного значения,

если последовательность вариантов у имеет обратную тенденцию по отношению к последовательности рангов вариантов х.

Коэффициент Кендэла (τ) предполагает измерение меры соот-ия последовательности рангов двух переменных путем сравнения общего итога ∑ положительных и отрицательных баллов (S=P+Q) с максимальным значением одного из слагаемых, т. е.

 

Пример:

Производ. фонды, млн.р. х	валовая продукция, млн.р. у	Nx	Ny	d=Nx-Ny	d2
1,2	2,8
1,6	4,0			-1
2,5	3,8
3,8	6,5
4,3	8,0
5,5	10,1			-1
6,0	9,5
8,0	12,5
9,1	18,3
10,0	24,5
n=10

 

Рассчитаем коэффициент Кендэла

у: Р= 9+7+7+6+5+3+3+2+1=43

х: Q=0+(-1)+0+0+0+(-1)+0+0+0=-2

S=43-2=41

Тогда

Получаемый коэффициент свидетельствует о значительной тесноте зависимости между изменениями значений х и у.

Данная формула применима для тех случаев, когда отдельные значения признака (х и у) не повторяются и следовательно, их ранги не объединены.