Собственные числа и собственные векторы матрицы

Приведем основные определения и теоремы, необходимые для решения практических задач вычисления собственных чисел и собственных векторов матриц.

Определение 3.5. Собственным числом (или собственным значением) квадратной матрицы A называется число λ такое, что система уравнений

A x = λ x (3.35)

имеет ненулевое решение x. Это решение называется собственным вектором матрицы A, соответствующим собственному значению λ.

Собственный вектор определяется с точностью до постоянного множителя, — если x удовлетворяет (3.35), то и c x также является решением (3.35).

Преобразуем систему (3.35) к виду (A – λ E) x = 0, где E — единичная матрица. Так как система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения лишь тогда, когда определитель матрицы равен нулю, получим уравнение для определения собственных значений

det(A – λ E) = 0, (3.36)

которое называется характеристическим или вековым уравнением.

Если раскрыть определитель, то получим в левой части (3.36) многочлен n -й степени, корнями которого являются собственные значения матрицы A. На практике, при больших порядках n матрицы, задача раскрытия определителя (3.36) является сложной. Как известно из алгебры, многочлен n -й степени имеет n корней (действительных или комплексных), если кратные корни учитывать столько раз, какова их кратность.

Пример 3.9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

.

Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его:

 

 

Найдем собственные векторы, решая системы уравнений.

 

 

Отсюда следует, что x ₃ — произвольное число. Выберем x ₃ = 1, тогда
получим собственный вектор x ¹ = (0, 0, 1) ^T, соответствующий собственному значению λ₁ = 2.

 

 

Первое и второе уравнения оказались одинаковыми, мы получили одно уравнение с двумя неизвестными. Пусть x ₂ = 1, тогда x ₁ = –0,618 и второй собственный вектор равен x ² = (–0,618; 1; 0) ^T.

 

 

Аналогично предыдущему, пусть x ₁ = 1, тогда x ₂ = 0,618 и третий собственный вектор равен x ³ = (1; 0,618; 0) ^T.

Нормируем найденные векторы, т.е. разделим каждый вектор на его длину:

Правильность вычислений можно проверить в программе Mathcad с помощью функций eigenvals(A) и eigenvecs(A):

 

 

 

Как видим, результаты ручного расчета практически совпадают со значениями, полученными в программе Mathcad.

Проверьте самостоятельно, что найденные собственные векторы взаимно ортогональны, т.е. при i ≠ k равно нулю скалярное произведение .

Вычислить собственные значения матрицы в общем случае труднее, чем найти при известных собственных значениях соответствующие собственные векторы. В некоторых частных случаях собственные значения вычисляются легко. Например, если матрица диагональная или треугольная, то определитель равен произведению диагональных элементов и поэтому собственные значения равны диагональным элементам. Нетрудно вычислить собственные значения для трехдиагональной матрицы, а также для почти треугольной матрицы.

Для диагональной матрицы собственному значению λ _i = a_ii отвечает единичный собственный вектор x ⁱ = (0, …, 1, …,0) ^T, у которого i -я компонента равна 1, а остальные компоненты равны 0.

Теорема 3.5. Собственные значения симметричной матрицы с действительными элементами действительны, а собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны.

Теорема 3.6. Если λ_min и λ_max — наименьшее и наибольшее собственные значения действительной симметричной матрицы A, то для любого вектора x справедливо неравенство

 

λ_min(x, x) ≤ (A x, x) ≤ λ_max(x, x) (3.37)

 

Определение 3.6. Действительная симметричная матрица A называется положительно определенной, если для любого вектора x ≠ 0 выполняется условие

(A x, x) > 0 (3.38)

Теорема 3.7. Действительная симметричная матрица A является положительно определенной тогда и только тогда, когда все её собственные значения положительны.

Теорема 3.8 (критерий Сильвестра). Для того чтобы действительная симметричная матрица A = [ a_ij ] была положительно определенной необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры её определителя были положительны:

 

(3.39)

 

Теорема 3.9 (теорема Перрона). Если все элементы квадратной матрицы положительны, то её наибольшее по модулю собственное значение положительно и не является кратным, а соответствующий собственный вектор имеет положительные координаты.

Рассмотрим итерационный метод определения наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего собственного вектора матрицы A, который запишем в виде следующего алгоритма [7]: