Тема 2. Системы счисленияИнформация в компьютере кодируется в двоичной или двоично-десятичной системе счисления. Система счисления - способ выражения и обозначения чисел с помощью символов, имеющих определенные количественные значения. В зависимости от способа изображения чисел, системы счисления делятся на:
В непозиционном счислении число выражается совокупностью различных цифр, значение которых определяется только конфигурацией их символов. В аддитивном непозиционном счислении (например, римском) используются операции сложения — вычитания над соседними цифрами. В мультипликативном счислении с этой же целью используется операция умножения.
Общепринятым сейчас является позиционное счисление, в котором значение любой цифры определяется не только принятой конфигурацией ее символа, но и местоположением (позицией), которое она занимает в числе. Под основанием Р позиционного счисления понимают количество различных символов, используемых для выражения числа. Значения цифр лежат в пределах от 0 до Р -1. В общем случае запись любого смешанного числа в системе счисления с основанием Р будет представлять собой ряд вида:
Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд): 1) положительные значения индексов – для целой части числа (т разрядов); 2) отрицательные значения – для дробной (s разрядов). Максимальное целое число, которое может быть представлено в m разрядах:
Минимальное значащее, не равное 0 число, которое можно записать в s разрядах дробной части:
Имея в целой части числа т разрядов, а в дробной – s разрядов, можно записать всего разных чисел.
Различают однородные и смешанные позиционные системы счисления. Однородная — это система, в которой количество допустимых символов для всех разрядов одинаково (например, двоичная или десятичная системы). Смешанная — это система, в которой количество допустимых цифр для разных разрядов различно. Примерами смешанной системы являются система, принятая в измерении времени (в разрядах секунд и минут по 60 различных символов, в разряде часов — 24 и т. д.). Современная десятичная позиционная система счисления возникла в Индии не позднее V века н. э. До этого времени в Индии применялись аддитивные и мультипликативные системы. Вскоре после возникновения десятичная позиционная система была заимствована другими народами, в том числе арабами. Появление ее в Европе под именем арабской связано с переводами на латынь арабских рукописей. Замена алфавитной системы счисления на десятичную позиционную в России произошла в начале XVIII века. В вычислительной технике наиболее широко применяется двоичная система счисление (п = 2). Достоинством позиционных систем счисления является компактность записи чисел, существенным недостатком — наличие межразрядных переносов при выполнении арифметических операций. Поэтому еще и сейчас ведутся поиски оптимальных для вычислительных машин систем счисления. Результатом этого является появление системы остаточных классов (СОК). В СОК положительное целое число А представляется набором чисел – остатков (вычетов) в виде:
,
Где ; рi – основания (модули) СОК - взаимно простые числа.
Диапазон представления чисел в СОК определяется как . Основное достоинство СОК — независимость образования разрядов числа, вследствие чего каждый разряд содержит в себе информацию обо всем числе А. Это определяет возможность независимой их обработки, т. е. поразрядного выполнения операций. К недостаткам СОК, значительно затрудняющим ее практическое применение в вычислительной технике, относятся: 1) отсутствие достаточно простых признаков выхода числа за пределы диапазона [0, N]; 2) получение всегда точного результата операции, вследствие чего исключаются возможности непосредственного округления результата и вообще приближенного выполнения операций; 3) невозможность прямого деления двух произвольных чисел; 4) невозможность визуального сопоставления чисел.
|