Студопедия — Объем тела вращения
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Объем тела вращения






Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, является непрерывной функцией на отрезке , то объем тела вычисляется по формуле:

. (9.16)

Выражение для функции получается достаточно просто в случае тел вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой , вращается вокруг оси Ox или оси Oy, то объемы тел вращения вычисляются по формулам:

или . (9.17)

Если криволинейный сектор, ограниченный кривой и лучами , , вращается вокруг полярной оси, то объем тела вращения равен:

. (9.18)

Отметим, что объемы тел значительно проще вычисляются при помощи кратных интегралов.

Пример 15. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной а) линиями вокруг оси Oy; б) кардиоидой вокруг полярной оси.

Решение. а) Используя формулу (9.17),

найдем объем данного тела (рис. 9.17):

(ед. 3)

б) Используя формулу (9.18), найдем объем данного тела (рис. 9.18):

.

 

9.12. Физические приложения.
Вычисление работы с помощью определенного интеграла

 

Работа, совершаемая переменной силой F (x) при перемещении материальной точки вдоль оси Ox, равна

. (9.19)

Рассмотрим пример нахождения работы, которую необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности g из резервуара, имеющего вид тела вращения, получающегося при вращении криволинейной трапеции вокруг оси Oy.

Пусть криволинейная трапеция в плоскости переменных ограничена линиями x = f (y)> 0, y = 0, y=H, x = 0. Элемент объема тела вращения равен ,

элемент веса равен .

Умножая элемент веса на (Hyi) – высоту, на которую нужно поднять соответствующий вес при выкачивании жидкости – получим элемент работы:

.

Тогда работа по выкачиванию жидкости равна определенному интегралу по отрезку [ 0;H ]:

. (9.20)

Пример 16. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать жидкость плотности g из резервуара, имеющего форму:

а) конуса вращения с вершиной, обращенной вниз и совпадающей с началом координат, высота которого H, а радиус основания R;

б) полусферы, обращенной выпуклостью вниз, радиус основания которой равен R;

в) цилиндра высоты H и радиуса основания R.

Решение. а) Данный конус получается в результате вращения прямой вокруг оси Oy (см. рис. 9.19). По формуле (9.20) находим

.

б) Данная полусфера получается в результате вращения нижней четверти окружности вокруг оси Oy (см. рис. 9.20). По формуле (9.20) находим

.

в) Данный цилиндр получается в результате вращения отрезка прямой , 0 £ y £ H вокруг оси Oy. Тогда

.

9. 13. Вычисление координат центра тяжести,
статических моментов и моментов инерции
плоской кривой

 

Пусть дуга кривой задана уравнением , и имеет плотность . Тогда статические моменты этой дуги относительно координатных осей Ox и Oy равны:

, (9.21)

. (9.22)

Моменты инерции дуги этой кривой относительно координатных осей Ox и Oy равны:

, (9.23)

. (9.24)

Координаты центра тяжести дуги этой кривой вычисляются по формулам:

, (9.25)

, (9.26)

где l – масса дуги, определяемая по формуле:

. (9.27)

Пример 17. Найти координаты центра тяжести дуги окружности (рис. 9.21), при условии .

Решение. Длина дуги равна . Найдем массу этой дуги: . Используя формулу 9.21, найдем статический момент:

.

Тогда . Учитывая симметричность дуги относительно биссектрисы координатного угла, получим . Центр тяжести имеет координаты .

 

 

9. 14. Вычисление координат центра тяжести,
статических моментов и моментов инерции
плоской фигуры

 

Пусть плоская фигура ограничена кривой и прямыми , и имеет плотность . Тогда статические моменты этой фигуры относительно координатных осей Ox и Oy равны:

, (9.28)

. (9.29)

Моменты инерции этой фигуры относительно координатных осей Ox и Oy равны:

, (9.30)

. (9.31)

Координаты центра тяжести плоской фигуры вычисляются по формулам:

, (9.32)

, (9.33)

где m – масса фигуры, определяемая по формуле:

. (9.34)

Пример 18. Найти координаты центра тяжести полукруга (рис. 9.22), при условии .

Решение. Площадь полукруга равна . Найдем массу этой фигуры:

.

Так как фигура симметрична относительно оси Oy, то . Используя формулу 9.28, найдем :

.

По формуле 9.33, получаем:

.

Центр тяжести имеет координаты .







Дата добавления: 2015-09-04; просмотров: 2369. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Основные разделы работы участкового врача-педиатра Ведущей фигурой в организации внебольничной помощи детям является участковый врач-педиатр детской городской поликлиники...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МОРФЕМНОГО СОСТАВА СЛОВА В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ В практике речевого общения широко известен следующий факт: как взрослые...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия