Например, для трех слагаемых величин имеемM(X + Y + Z) = M[(X + Y) + Z] = = М (X + Y) + М (Z) = М (X) + М (Y) + М (Z). Для произвольного числа слагаемых величин доказательство проводится методом математической индукции. Пример 2. Производится 3 выстрела с вероятностями попадания в цель, равными pi = 0,4; р2 = 0,3 и р3 = 0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий. Решение. Число попаданий при первом выстреле есть случайная величина Xlt которая может принимать только два значения: 1 (попадание) с вероятностью р! = 0,4 и 0 (промах) с вероятностью q — 1—0,4 = 0,6. Математическое ожидание числа попаданий при первом выстреле равно вероятности попадания (см. § 2, пример 2), т. е. М(Х{) — 0,4. Аналогично найдем математические ожидания числа попаданий прн втором и третьем выстрелах: М(Х2) = 0,3, Л1(Х3)=0,6. Общее число попаданий есть также случайная величина, состоящая из суммы попаданий в каждом из трех выстрелов: X = Xi-|-Xj-|-Xj. Искомое математическое ожидание находим по теореме о математическом. ожидании суммы: М (X) = М(Хх + X* + Х8) = М (X,) + М (Xj) + М (Х3) = = 0,4 + 0,3+0,6 =1,3 (попаданий). Пример 3. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей. Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй — через Y. Возможные значения этих величин одинаковы и равны 1, 2, 3, 4, 5 и 6, причем вероятность каждого из этих значений равна 1/6. Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой костн: /И (X) = 1 • (1/6) + 2-(1/6) +3 (1/6) + 4• (1/6) + 5-(1/6) + 6-(1/6) =7/2. Очевидно, что и М (К) = 7/2.
|
