По формуле Ньютона — Лейбница,

Ь ь

F (Ь) — F (а) = ^ F' (x)dx = J f(x)dx.

А а

Таким образом,

ь

Р (а ^Х < b) = ^ / (х) dx.

а

Так как Р (а ^ X < b) = Р (а < X < Ь), то оконча­тельно получим

Р(а< X <b) = lf(x) dx. (*)

а

Геометрически полученный результат можно истолко­вать так: вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (а, Ь), равна площади криволинейной трапеции, ограни­ченной осью Ох, кривой распределения / (х) и прямыми х = а и х = Ь.

Замечание. В частности, если /(дс) — четная функция и концы интервала симметричны относительно начала координат, то

а

Р (—о < X < а) = Р (\ X \ < о) =2 ^ / (х) dx.

о

Пример. Задана плотность вероятности случайной величины X

(

О при *< 0,

2х при 0 < 1,

О при х > 1.

Найти вероятность того, что в результате испытания X примет зна­чение, принадлежащее интервалу (О,Б; 1).

Решение. Искомая вероятность

Р (0,5 < а: < I) =2 ^ xdx = x² |J,S= 1—0,25 = 0,75.

Нахождение функции распределения по известной плотности распределения

Зная плотность распределения f ( х ), можно найти функцию распределения F (х) по формуле

X

F(x)= J f(x)dx.

OD

Действительно, мы обозначили через F (х) вероятность того, что случайная величина примет значение, мень­шее х, т. е.

F(x) = P(X<x).

Очевидно, неравенство X < х можно записать в виде двойного неравенства — оо < X < х, следовательно,

F (х) = Р (— оо < X < х). (*)

Полагая в формуле (*) (см. § 2) а= —оо, Ь — х, имеем

X

Р(—оо<Х<х)= J f (х) dx.

Во

Наконец, заменив Р (— оо < X < х) на F (х), в силу (*), окончательно получим

X

F(x)= J f(x)dx.

Ао

Таким образом, зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения может быть найдена плотность распределения, а именно:

/(х) = Г (х).

Пример. Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

!

0 при х < а,

/ (Ь —о) при а<х <&;,

О при х > Ь.