Вероятностный смысл плотности распределенияПусть F (*)—функция распределения непрерывной случайной величины X. По определению плотности распределения, / (х) = F' (х), или в иной форме /(*)„ lim ffr+yi-fW. ' v Л* О Как уже известно, разность /^(лг + Дл:)— F (х) определяет вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ( х, лг + Дл:)- Таким образом, предел отношения вероятности того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу ( х, х+Дх), к длине этого интервала (при Ах—►О) равен значению плотности распределения в точке х. По аналогии с определением плотности массы в точке ** целесообразно рассматривать значение функции f (лг) в точке х как плотность вероятности в этой точке. Итак, функция f (х) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки х. Из дифференциального исчисления известно, что приращение функции приближенно равно дифференциалу функции, т. е. F (х -+ Ах) — F (х) ~ dF (х), Или F (х + Ах)—F(x) си F' (х) dx. Так как F'(x) = f(x) и dx — Ax, то F (х + Ах) — F (х) ~ / (лг) Ах. Вероятностный смысл этого равенства таков: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, дс + Дх), приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Ах) произведению плотности вероятности в точке х на длину интервала Ах. *> Если масса непрерывно распределена вдоль оси х по некоторому закону, напрнмер F (х), то плотностью р (х) массы в точке х называют предел отношения массы интервала (*, х &х) к длине интервала при Ддс -»0, г. е. р (дс) = lim ^ ^9- ^ ^. Дл~»0 Л* Геометрически этот результат можно истолковать так: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу (х, х + Ах), приближенно равна площади прямоугольника с основанием Ах и высотой f (х). На рис. 5 видно, что площадь заштрихованного прямоугольника, равная произведению f (jc) Ах, лишь приближенно равна площади криволинейной трапеции(истинной вероятности, определяемой определенным интегралом
|
