ОО — 00 ОПредставим подынтегральную функцию в виде суммы простейших дробей: 24 Г 81 Г da> 1 Г dco J Выполнив интегрирование, получим искомую дисперсию: Z)„ = 96,4. Задачи 1. Найти дисперсию стационарной случайной функции X(t), ,, 6 аная ее спектральную плотность s,(со)=— -гг—, —sr. ' я (1 Отв. £>х=6. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции X (/), зная ее корреляционную функцию 1 при | т | > 3. _ 2 sin* (3<о/2) Отв. 5ж(ш) = у." а • Злсо2 Найти спектральную плотность стационарной случайной функции Х(/), зная ее корреляционную функцию (г)=5ё-81т1. Отв. 5*(а>)=10/(я(4 4-ю2)). Задана спектральная плотность s* (со) = 6/(л (1 + <о2)) стационарной случайной функции X (/). Найти нормированную спектральную плотность. Отв. sx „орм (®) = I /(п (1 + и*)). Найти корреляционную функцию стационарной случайной функции X (/), зная ее спектральную плотность (s0 в интервалах (—4<о0, —2а»0) и (2<о0, 4со0), Sjf (1й) в \ Вие этих интервалов. S Отв. kx(x) = —2 sin (о0т (2 cos 2со0т— I). в. Спектральная плотность стационарной случайной функции X (/) постоянна в диапазоне частот ((оь со2), а вие его равна нулю: при со < cot **(<»)={ * при С0,< <0 < со„ при со > ш,. о Найти: а) корреляционную функцию; б) дисперсию; в) нормированную корреляционную функцию случайной функции X (/). Отв. а) *Х(Т)-,Л8?П^Г-,?™*Т); б) D* = S(co2 — с»!); в) рх (1) =е‘ПтШ(3ш2-Т1Г1Т- На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением У‘(0 + ЗУ (0 = Х' (/) + 4Х(0, подается стационарная случайная функция X (t) с математическим ожиданием тх = 6 и корреляционной функцией *х(т) = 5е-а1т*. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной функции У (/) иа выходе системы в установившемся режиме. Отв. т„ = 8; Dy — 22/3. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением У(1) + 5У‘ (t)+GY(t) = X‘(l) + X(t), подается стационарная случайная функция X (t) с математическим ожиданием тх = 4 н корреляционной функцией kx (т) = е“|т'. Найти математическое ожидание и спектральную плотность случайной функции У (<) на выходе системы в установившемся режиме. Л 2 1 I Отв. ту— 3, sy{(o)— я 25ш2 + (6 —ш2)2' 9*. На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением У“‘ (/) + 6К' (04- 1 \У (0 + 6К (0 = 7Х'" (0 + 5Х(0, подается стационарная случайная функция X (/) с известной корреляционной функцией kx (т) = 2e“l't I (Н-| т |). Найти спектральную плотность случайной функции У ( t ) на выходе системы в установившемся режиме. Указание. Разложить иа лннениые множители знаменатель передаточной функции: p3-f- 6рг+ 11р + 6 = (Р+ 1) (р + 2) (р-\-3). Отв. sv (со) = 4 (49сов + 25)/(я (а>2 + 1)3 (а>2 + 4) (ш2 + 9)). На вход линейной стационарной динамической системы, описываемой уравнением У1 ( t) — X ( t ), поступает случайная функция X (/) с постоянной спектральной плотностью s0 (стационарный белый шум). Найти дисперсию случайной функции У (/) на выходе системы в установившемся режиме. Отв. D — s0n.
|
