Студопедия — Приклад. Обчислити визначник третього порядку: 2 3 4
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Приклад. Обчислити визначник третього порядку: 2 3 4






Обчислити визначник третього порядку: 2 3 4

^ 5 -2 1 = (2 • (-2) • 3 + 3-1 -1 + 4 • 5 • 2) - (4 • (-2)-1 + 3 • 5 • 3 + 2 • 1 • 2) 1 2 3

= (-12 + 3 + 40) - (-8 + 45 + 4) = 31 - 41 = -10.


Зробимо перевірку обчислення за допомогою програми Maxima, у якій

для обчислення визначника матриці використовується функція determinant.

(%il) determinant, (matrix ([2, З, 4],

[5,-2, 1], [1,2,3]));

- 10 ^

Отже, на відміну від матриць, які являють собою таблицю чисел, визначник це число, що певним чином ставиться у відповідність до матриці.

2.6. Властивості визначників

T

1. Якщо квадратна матриця A є транспонованою до матриці A, то їхні

•X

ka11 ka
a
 
21 31
22 32

визначники збігаються |A | = |A|, тобто визначник матриці не змінюється, якщо її рядки змінити стовпцями й навпаки, наприклад, для визначника третього по­рядку:

a11 a12 a13   a11 a21 a31
a21 a22 a23 = a12 a22 a32
a31 a32 a33   a13 a23 a33

 

2. При перестановці 2-х рядків або стовпців матриці, її визначник змі­нить знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину, тобто:

a11 a12 a13   a13 a12 a11
a21 a22 a23 ----- a23 a22 a21
a31 a32 a33   a33 a32 a31

 

3. Якщо матриця має два однакові рядки або стовпця, то її визначник дорівнює нулю:

a11 a12 a13 = 0
a21 a22 a23
a21 a22 a23  

 

Дійсно, якщо переставити тут 2-ий і 3-ій рядки, то за властивістю 2 цей визначник повинен змінити знак, але сам визначник у даному випадку не змі­нюється, тобто одержуємо |A| = -|A| або |A| = 0.

4. Загальний множник рядка або стовпця можна виносити за знак ви­значника (на відміну від матриць, де множення матриці на число к рівносильне множенню всіх елементів матриці на це число):

a11 a12 a13 к a21 a22 a23. a31 a32 a33

5. Якщо всі елементи будь-якого стовпця матриці дорівнюють нулю, то сам визначник дорівнює нулю.

6. Якщо всі елементи будь-якого рядка або стовпця матриці представ­лені у вигляді суми 2-х доданків, то визначник можна представити у вигляді суми 2-х визначників за формулою:

а11 а12 а13   а11 а12 а13   а11 а12 а13
а21 а22 а23 = а21 а22 а23 + а21 а22 а23
', *   ', *   / / /   Л> //
а31 + а31 а3 2 + а32 а3 3 + а33   а31 а32 а33   а31 а32 а33

 

7. Якщо до будь-якого рядка (або стовпця) матриці додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на одне й теж число, то визначник не змінить своєї величини:


 

 


а11 + ка12 а

а21 + ка

а
її 21 31
22 32
 
 
 
22 32

аз1 + каз2


 

 


8. Визначник діагональної та трикутної матриці дорівнює добуткові елементів, що розташовані на головній діагоналі:

а11       а11 а12 а13  
  а22       а22 а23 - ап X а22 х а33
    а33       а33  

 

2.7. Мінори й алгебраїчні доповнення. Розкладання визначників за елементами рядків і стовпців

Нехай маємо визначник третього порядку:


 

 


а
а
а
 
 

 

 


а21 а22 а23

*31 а32 а33

Д =
а

Мінором, що відповідає даному елементові ау визначника третього по­рядку, називається визначник другого порядку, отриманий із даного викреслю­ванням рядка й стовпця, на перетині яких розташований даний елемент, тобто

і-го рядка й у'-го стовпця. Мінори відповідні даному елементові ау будемо по­значати Мі

а

у

Наприклад, мінором М12, що відповідає елементові а12, буде визнач­


 

 


21 31
ник: М
 

, який отримаємо викреслюванням з даного визначника 1-го


 

 


рядка і 2-го стовпця.

Якщо формулу для обчислення визначника третього порядку

перетворити у вигляд


\1(
' а32а23)'
(
(
а31а22)
а, 11 а^^а
а
12 (а21а33
13 (а21а32
22"33

а2заз!) + а!


 

 


то одержимо визначник, що дорівнює сумі добутків елементів 1-го рядка на відповідні їм мінори; при цьому мінор, що відповідає елементові а12, береться зі знаком «-», тобто можна записати, що:

А = а11М1112 М12 + а13М13 (2.1)

22 32
21 31
21 31
+ а,
а
 
 

ретього порядку маємо:

а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
а

 

 

Таким чином, ця формула дає розкладання визначника третього порядку за елементами першого рядка а11, а12, а13 і зводить обчислення визначника тре­тього порядку до обчислення визначників другого порядку.

Аналогічно можна ввести поняття мінорів для визначників четвертого, п'ятого й т.д. порядків.

Для визначника т А






Дата добавления: 2015-09-06; просмотров: 2507. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Роль органов чувств в ориентировке слепых Процесс ориентации протекает на основе совместной, интегративной деятельности сохранных анализаторов, каждый из которых при определенных объективных условиях может выступать как ведущий...

Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение.   Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению...

Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт. ст. Влияние психоэмоциональных факторов отсутствует. Колебаний АД практически нет. Головной боли нет. Нормализовать...

Эндоскопическая диагностика язвенной болезни желудка, гастрита, опухоли Хронический гастрит - понятие клинико-анатомическое, характеризующееся определенными патоморфологическими изменениями слизистой оболочки желудка - неспецифическим воспалительным процессом...

Признаки классификации безопасности Можно выделить следующие признаки классификации безопасности. 1. По признаку масштабности принято различать следующие относительно самостоятельные геополитические уровни и виды безопасности. 1.1. Международная безопасность (глобальная и...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия